Bezout teoremi sadece ikili sayılar için mi geçerlidir ?

Question

Bezout Teoremi : $a,b$ her ikisi birden 0 olmayan tam sayılar olmak üzere $$au+bv=(a,b)$$ yapan en az bir $(u,v)$ çifti vardır.

Bezout teoremi sadece $a,b$ gibi ikililer için mi geçerli yoksa herhangi alınan ($n$ tanesi birden 0 olamayacak.) $n$ tane tamsayı içinde geçerli olur mu ?

Comments

Biraz kalem oynatmak gerekiyormuş şimdi çözdüm. tüm n tane tamsayı için geçerliymiş.

---

@emresafa, çözümünü yazarsan soru cevapsız kalmamış olur (sen de puan kazanırsın!).

Answer 1

$a_1,a_2,\cdots ,a_n$ hepsi birden 0 olmayan tamsayılar olmak üzere şu kümeyi tanımlayalım.

$A=\{a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n:b_1,b_2,\cdots b_n\in \mathbb{Z}\}\cap \mathbb{N^+}$

Eğer ki her $i$ için $a_i=b_i$ alırsak A kümesinin bir elemanı bulunmuş olur yani $A$ kümesi boş değil. Boş olmayan her doğal sayıların alt kümesi olan bir kümenin bir en küçük elemanı vardır. $A$ kümesinin en küçük elemanına $d$ diyelim o zaman $d=a_1b_1+ \cdots +a_nb_n$ olur. $a_i$ sayılarını $d$'ye bölelim.

$$a_1=dq_1+r_1 , d>r_1\geq0$$

$$a_2=dq_2+r_2 , d>r_2\geq0$$

$$\vdots$$

$$a_n=dq_n+r_n , d>r_n\geq0$$

Şimdi $r_i$ sayılarını yalnız bırakalım. Herhangi bir $r_m$ sayısı için

$r_m=a_m-dq_m=a_m-(a_1b_1+ \cdots +a_nb_n)q_m=a_1(-b_1q_m)+\cdots +a_m(1-b_mq_m)+\cdots +a_n(-b_nq_n)$ olur. Bu $r_m$ sayısı $0$'dan büyük olursa $\in A$ olacağından çelişki çıkar. Çünkü biz $d$'yi $A$'nın en küçük elemanı seçmiştik ve $r_m<d$ olduğundan en küçük elemandan daha küçük eleman bulmuş oluruz. Yani $r_m=0$ olmalıdır.

Böylece $m=\{1,2,\cdots ,n\}$ için $a_m=dq_m$ yazabiliriz.

Herhangi bir $c\in \mathbb{N}$ ve $c/a_1,a_2, \cdots ,a_n$ sayısı alalım. Bu $c$ sayısı $a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n$ sayısınıda böler. Dolayısıyla $d$'yide böler. $a_1,a_2, \cdots ,a_n$ sayılarının her ortak böleni $d$'yide böldüğünden $d=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$ olur.

Answer 2

Şöyle biraz daha kısa bir çözümü de var:

Önce şunu gösterelim

Her $n>1$ (ve her $a_1,a_2,\ldots a_n$ tamsayıları ) için $(a_1,a_2,\ldots,a_n)=((a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}),a_n)$ dir.

(Bunu ispatlaması zor değil)

Şimdi iddiayı, Tümevarımla, ispatlayalım:

1. $n=2$ için zaten doğru olduğunu (Bezout nun) Teoreminden biliyoruz.
   
2. Bir $n\geq2$ için iddia doğru olsun.  Yani, $(a_1,a_2,\ldots,a_{n})=\sum_{i=1}^nb_ia_i$ olacak şekilde $b_i$ tamsayıları var olduğunu kabul edelim. $(a_1,a_2,\ldots,a_{n+1})=((a_1,a_2,\ldots,a_{n}),a_{n+1})$ olduğunu göstermiş idik.
Bezout nun Teoreminden $((a_1,a_2,\ldots,a_{n}),a_{n+1})=c_1(a_1,a_2,\ldots,a_{n})+c_2a_{n+1}$ olacak şekilde $c_1,c_2$ tamsayıları vardır. Bunları birleştirirsek: $(a_1,a_2,\ldots,a_{n},a_{n+1})=c_1\sum_{i=1}^nb_ia_i+c_2a_{n+1}=\sum_{i=1}^{n+1}d_ia_i$ elde edilir.  Tümevarım İlkesinden iddia her $n\geq2$ için doğru olur. (Aslında bu önerme, halkalar ve esas idealler şeklinde düşünüldüğünde aşikar bir şey oluyor.)