Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.5k kez görüntülendi

Bezout Teoremi : a,b her ikisi birden 0 olmayan tam sayılar olmak üzere au+bv=(a,b)

yapan en az bir (u,v) çifti vardır.

Bezout teoremi sadece a,b gibi ikililer için mi geçerli yoksa herhangi alınan (n tanesi birden 0 olamayacak.) n tane tamsayı içinde geçerli olur mu ?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (194 puan) tarafından  | 1.5k kez görüntülendi

Biraz kalem oynatmak gerekiyormuş şimdi çözdüm. tüm n tane tamsayı için geçerliymiş.

@emresafa, çözümünü yazarsan soru cevapsız kalmamış olur (sen de puan kazanırsın!).

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

a1,a2,,an hepsi birden 0 olmayan tamsayılar olmak üzere şu kümeyi tanımlayalım.

A={a1b1+a2b2++anbn:b1,b2,bnZ}N+

Eğer ki her i için ai=bi alırsak A kümesinin bir elemanı bulunmuş olur yani A kümesi boş değil. Boş olmayan her doğal sayıların alt kümesi olan bir kümenin bir en küçük elemanı vardır. A kümesinin en küçük elemanına d diyelim o zaman d=a1b1++anbn olur. ai sayılarını d'ye bölelim.

a1=dq1+r1,d>r10

a2=dq2+r2,d>r20

an=dqn+rn,d>rn0

Şimdi ri sayılarını yalnız bırakalım. Herhangi bir rm sayısı için

rm=amdqm=am(a1b1++anbn)qm=a1(b1qm)++am(1bmqm)++an(bnqn) olur. Bu rm sayısı 0'dan büyük olursa A olacağından çelişki çıkar. Çünkü biz d'yi A'nın en küçük elemanı seçmiştik ve rm<d olduğundan en küçük elemandan daha küçük eleman bulmuş oluruz. Yani rm=0 olmalıdır.

Böylece m={1,2,,n} için am=dqm yazabiliriz.

Herhangi bir cN ve c/a1,a2,,an sayısı alalım. Bu c sayısı a1b1+a2b2++anbn sayısınıda böler. Dolayısıyla d'yide böler. a1,a2,,an sayılarının her ortak böleni d'yide böldüğünden d=(a1,a2,,an) olur.

(194 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Şöyle biraz daha kısa bir çözümü de var:

Önce şunu gösterelim

Her n>1 (ve her a1,a2,an tamsayıları ) için (a1,a2,,an)=((a1,a2,,an1),an) dir.

(Bunu ispatlaması zor değil)


Şimdi iddiayı, Tümevarımla, ispatlayalım:

  1. n=2 için zaten doğru olduğunu (Bezout nun) Teoreminden biliyoruz.
  2. Bir n2 için iddia doğru olsun.  Yani, (a1,a2,,an)=ni=1biai olacak şekilde bi tamsayıları var olduğunu kabul edelim. (a1,a2,,an+1)=((a1,a2,,an),an+1) olduğunu göstermiş idik.
  3. Bezout nun Teoreminden ((a1,a2,,an),an+1)=c1(a1,a2,,an)+c2an+1 olacak şekilde c1,c2 tamsayıları vardır. Bunları birleştirirsek: (a1,a2,,an,an+1)=c1ni=1biai+c2an+1=n+1i=1diai elde edilir.  Tümevarım İlkesinden iddia her n2 için doğru olur. (Aslında bu önerme, halkalar ve esas idealler şeklinde düşünüldüğünde aşikar bir şey oluyor.)


(6.2k puan) tarafından 
20,293 soru
21,832 cevap
73,524 yorum
2,662,318 kullanıcı