integral

Question

 $ f$ integrallenebilen bir fonksiyon olmak üzere $ f$ fonksiyonunun  $[a,b]$ aralığındaki ortalama değerinin $ \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx $ olduğunu kanitlayiniz ?

Answer 1

$f$, $[a,b]$ aralığında integrallenebilir bir fonksiyon olsun. $[a,b]$ kapalı aralığını $n$ tane eşit alt aralığa bölelim ve 

$$m_i=min_{1\leq i\leq n} \left[a+\frac{(i-1)(b-a)}{n},a+\frac{i(b-a)}{n}\right]$$ olsun. Bu $m_i$ sayılarının aritmetik ortalaması

$$\frac{\sum_{i=1}^{n}m_i}{n}$$

$$=$$

$$\frac{f(a)+f\left(a+\frac{1(b-a)}{n}\right)+f\left(a+\frac{2(b-a)}{n}\right)+\ldots+f\left(\frac{(n-1)(b-a)}{n}\right)}{n}$$

$$=$$

$$\frac{1}{n}f(a)+\frac{1}{n}f\left(a+\frac{1(b-a)}{n}\right)+\ldots +\frac{1}{n} f\left(a+\frac{(n-1)(b-a)}{n}\right)$$

$$=$$

$$\frac{1}{b-a}\left[\frac{b-a}{n}f(a)+\frac{b-a}{n}f\left(a+\frac{1(b-a)}{n}\right)+\ldots +\frac{b-a}{n} f\left(a+\frac{(n-1)(b-a)}{n}\right)\right]$$

olacaktır. O halde bu toplamın $n\rightarrow \infty$ için limiti alınırsa

$$lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sum_{i=1}^{n}m_i}{n}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$$

bulunur. Bu sayıya $f$ fonksiyonunun $[a,b]$ kapalı aralığındaki ORTALAMA DEĞERİ denir. Bu değer bildiğimiz aritmetik ortalamanın bir genelleşmiş halidir.

Comments

Hmm tesekkur ederim $\lim \frac{b-a}{n}.\sum f(a+k. \frac{b-a}{n})$=$\int_a^b f dx$ bu toplamda şu yaptığınız ispattan geliyor galiba 

Answer 2

$a=x_1<x_2...<x_n=b$ , $y_1=f(x_1),y_2=f(x_2)....y_n=f(x_n)$ olsun $(y_1+y_2+...y_n)\frac{(b-a)}{n}$ Riemann toplamı ve $\frac{(y_1+y_2+...y_n)}{n}  $ A.O ve n sonsuza giderken riemann toplamı o aralıktaki belirli integrale eşit olduğu için istenen sonuç elde edilir