Bir G grubunda her elemanın merkezleyicisi var mıdır?

Question

Her elemanın merkezleyicisi olması demek grubun değişmeli olduğu anlamına mı gelir? C(x) in Z(G) ye eşit olduğu durum nasıl olur 

Comments

"Her elemanın merkezleyicisi olması" demek $C(G)\neq\emptyset$ anlamına mı geliyor?

---

Evet hocam, ama ne anlam ifade ediyor

---

ne anlam kastedildiğini tam anlayamıyorum ama (yazılandan benim anladığım şekli ile) apaçık doğru. Grubun birim elemanı (e), her zaman, C(G) nin bir elemanıdır.

---

Hocam anladım her elemanın merkezleyicisi var ve bazısının sadece birim elemanken bazısının birim elemanla beraber başka bir elemanlada değişmeli olabilme durumu var olabilir mi 

Answer 1

Bir G grubunun birbiri ile değişmeli tüm elemanlarının kümesine G grubunun merkezi denir.Merkezi göstermek için (y':y nin tersi) Her x,y∈Mg ; xy'∈Mg olduğunu göstermek yeterlidir.(Mg grubun merkezi)

G bir grup ve a∈G olsun.

Mg(a)={x∈G | ax=xa} ⊂G kümesine a∈G nin G içindeki merkezleştiricisi denir.

Answer 2

Küme, doğal olarak boş olamaz çünkü $e_G$ orada. Eğer $G$ abel ise tüm elemanları birbirleriyle yer değiştirebileceğinden $C_G (x)= G$ olur $\forall x \in G$.