Normal uzayların kapalı altuzaylarının da normal olduğunu gösteriniz.

Question

Teorem: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere

$$((X,\tau), \text{ normal uzay})(A\in \mathcal{C}(X,\tau))\Rightarrow (A,\tau_A), \text{ normal uzay}$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$(X,\tau)$ bir normal topolojik uzay, $A\subseteq X$  olsun. $X$ bir $T_1$   uzayı olduğundan (çünkü her normal uzay $T_1$  uzayıdır: ( $T_1$ Uzayı:Bir $(X,\tau)$ topolojik uzayının farklı iki noktası verildiğinde bu noktaların herbirinin diğerini içermeyen bir komşuluğu varsa uzaya $T_1$  uzayı denir, ) , ve bu uzayın alt kümesi de $T_1$  olduğundan(Bakınız) $A$  da bir $T_1$  uzayıdır. $A$   kapalı olduğundan , $A$ nın bir  $F$  alt kümesinin kapalı olması için gerek ve yeter şart $F$  nin  $X$  de kapalı olmasıdır. O zaman  $F$  ve  $F'$   $X$  de kapalı alt kümeler ise  $X$  de ayrık kümelerdir çünkü $X$  normal olduğundan bu tür kümeler mevcuttur. $X$ normal olduğundan  $F\subset U, F'\subset V$     ve  $U\cup V=\emptyset$   olacak şekilde  $U$   ve   $V$  açıkları vardır.  Diğer taraftan $F\subset A\cap U,  F'\subset A\cap V$   ve  $A\cap U, A\cap V$  kümeleri   $A$  nın ayrık alt kümeleridir ve $A$ da açıktırlar. Sonuç olarak  $(A,\tau_A)$  normal uzaydır.

Answer 2

$(X,\tau)$ normal; $A\in \mathcal{C}(X,\tau);$ $E_A,F_A\in\mathcal{C}(A,\tau_A)$ ve $E_A\cap F_A=\emptyset$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr}(E_A,F_A\in\mathcal{C}(A,\tau_A))(E_A\cap F_A=\emptyset) \\ \\ A\in\mathcal{C}(X,\tau)  \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{rr} \\ \\ \left. \begin{array}{rr} (E_A,F_A\in\mathcal{C}(X,\tau))(E_A\cap F_A=\emptyset) \\ \\ (X,\tau), \text{ normal}\end{array} \right\} \Rightarrow \end{array}$

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\exists U\in \mathcal{U}(E_A))(\exists V\in \mathcal{U}(F_A))(U\cap V=\emptyset) \\ \\ (U_A:=U\cap A)(V_A:=V\cap A)\end{array}\right\}\Rightarrow (U_A\in\mathcal{U}_A(E_A))(V_A\in\mathcal{U}_A(F_A))(U_A\cap V_A=\emptyset).$