32n+28 şeklindeki tamsayılar 3 tam karenin toplamı olamaz.

Question

$32n+28$ ($n\in\mathbb{N}$) şeklindeki tamsayıların, 3 tamsayının  karenin toplamı olamayacağını gösteriniz.

(alperçay ın Şuradaki (yorumda) tahmini ile ilgili.) 

Comments

Doğan Hocam iddiamız $4^n(8k+7)$ şeklinde revize etmeliyiz çünkü listedeki $112$ ve $240$ sayıları $4^2(8k+7)$ formunda yazılıyor. 

---

Alper bey, yukarıdaki iddia doğrudur. Problem, ''Üç karenin toplamı biçiminde yazılamayan her pozitif tamsayı $32n + 28$ biçimindedir'' demiyor. Bu kalıba uymayan başka değerler de vardır.

---

Lokman Bey, iddiayı genel halde ifade etmeye çalışıyorum ; $n=0$ iken  iddiamız $8k+7$ şeklinde iken $n=1$ durumunda $32k+28$ şeklinde olup doğrudur ki gösterdiniz. $4^n(8k+7)$ formundaki her doğal sayı üç karenin toplamı olamaz diye bir sanıda bulunuyorum. 

---

Şimdi anladım Alper bey, teşekkürler. Bu dediğiniz çok daha genel (ve muhtemelen çözümü daha zor) bir durumu ifade ediyor. İsterseniz iddianızı yeni bir başlık altında sorunuz. Yeniden deneyelim.

---

Literatüre bakmadım ama büyük ihtimalle bu çözülmüş bir problemdir. Yine de soralım sitede bulunsun. 

Answer 1

Bir $x$ tamsayısı için $x^2 \equiv 0, 1, 4, 9, 16, 25, 17 \pmod{32}$ kalanları elde edilebiliyor. Buna göre $x^2 + y^2 + z^2$ için bu kalanların tüm kombinasyonlarını deneyerek $$x^2 + y^2 + z^2 \equiv 0, 1, 2, 3 , 4, 5 , 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, \\21, 22, 24, 25, 26, 27, 29, 30 \pmod{32}$$ elde edilebiliyor.

Diğer bir deyişle $$x^2 + y^2 + z^2 \not \equiv 7, 15, 23, 28, 31 \pmod{32}$$ olmaktadır. Böylece $32n + 28$ ($n \in \mathbb N$ ) biçimindeki sayılar üç tamsayının karelerinin toplamı biçiminde ifade edilemez.

Bununla beraber bu sonuç, $7,15,23,28,31$ dışındaki diğer kalanları veren pozitif tam sayıların üç tam sayının karelerinin toplamı biçiminde ifade edilebileceği anlamına gelmez. Nitekim, $112 \equiv 16 \pmod{32}$ olduğu halde $x^2 + y^2 + z^2 \neq 112$ dir.

Comments

Sorunun genelleme denemesi için İlgili soru

---

Hocam 8. satırdaki  $mod(28)$ yerine $mod(32)$ olacak sanıyorum.