lineer dönüşümün tersinirliği

Question

Bir lineer dönüşüm tersinirdir ancak ve ancak 1-1 ve örtense önermesinin ispatı nasıl yapılır

Comments

Lineer dönüşüm dediğimiz şey de nihayetinde bir tür fonksiyondur.

Teorem: Bir $f$ fonksiyonunun $f^{-1}$ ters fonksiyonuna sahip olması için gerek ve yeter şart $f$ nin bire bir ve örten olmasıdır. 

Buna göre, $T:V \to W$ bir lineer dönüşüm ve $T^{-1}: W \to V$ ters dönüşüm olsun. Yukarıdaki teorem gereğince $T$ bire bir ve örtendir.

Şimdi de  $T:V \to W$ bir lineer dönüşüm ve $T$ bire bir örten olsun.  $T^{-1}: W \to V$ ters fonksiyonu vardır. Gösterilmesi gereken, bu ters fonksiyonun da lineer dönüşüm olduğunu ispatlamaktır. Yani $T^{-1}(c_1\vec{a} + c_2\vec{b})=c_1T^{-1}(\vec{a})+c_2T^{-1}(\vec{b})$ gibi bir eşitlik var mıdır? Bunu ispatlayabilirseniz probleminiz tamamlanıyor. Son vuruşu size bırakalım.

---

Lokman bey'e ek olarak kernel analizi de yapabiliriz, linear dönüşüm dediğiniz için linear cebir içerisinde kalıyor:

kerneli şöyle tanımlayalım, $T:V\to W$ linear dönüşümünün kerneli $ker(T)=\{v\in V \;|\; T(v)=0_W\}$

eğer bu altuzayın dimension(boyut'u) 0 ise yani kernelde sadece $\{0\}$ varsa birebir diyebiliyoruz.