İlk önce herhangi bir
x tam sayısı için karesinin
3 ile bölümünden elde edilebilen kalanları hesaplayalım.
xx2(mod3)001121
Yukarıdaki tablodan x2 nin 3 ile bölümünden 2 kalanı veremeyeceğini gözlemleyelim. Şimdi dik kenar uzunlukları a,b ve hipotenüsü c olan ilkel Pisagor üçlüsünü göz önüne alalım. a ile b den herhangi birinin 3 ile bölünebildiğini ispatlamak istiyoruz. Aksini kabul edelim ve ne a ne de b 3 ile bölünebiliyor olsun. Bu durumda aşağıdaki tabloyu oluşturabiliriz:
abc2=a2+b2(mod3)112122212222
Görüldüğü gibi bütün durumlarda c2≡2(mod3) olmaktadır. Fakat ilk tabloya göre bir tam karenin 3 ile bölümünden 2 kalanı veremeyeceğini biliyoruz. Bir çelişki elde ettik.
Dolayısıyla a ile b den biri 3 ün tam katı olmalıdır. İspat tamamlanmıştır.