Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
524 kez görüntülendi

i karmaşık (komplex) sayı olmak üzere ; $i^i$ ifadesi neye eşittir? Başka bir deyişle farklı formlarda nasıl ifade edebiliriz? Örneğin taban e olur gibi... Anlatabilmişimdir umarım:)


Şu konuda vardı bir cevap da daha ayrıntılı anlatılabilir mi

Lisans Matematik kategorisinde (16 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 524 kez görüntülendi

Ben konuya tam hâkim değilim ama şu yorumda bulunabilirim:

$i=(-1)^\frac{1}{2}$ ve $e^{\pi.i}=-1$, bu özdeşlikte iki tarafında karekökünü alırsak $e^\frac{\pi.i}{2}=i$

oluyor. Sonra iki tarafında $i$inci üssünü alıyoruz ve üssün üssünde üsler çarpılacağı için $e^\frac{-\pi}{2}=i^i$ oluyor.

$i^i$ çok değerli bir ifadedir. Tek bir değeri yoktur. Fakat esas argüment değeri kullanılırsa $e^{- \frac{\pi}2}$ oluyor. Ayrıca bu problem http://matkafasi.com/17229/%24i-i%24-ifadesinin-esitini-bulun linkinde daha önce cevaplanmıştır. Sorular sorulmadan önce site içinde arama yapılırsa tekrara düşülmemiş olur.

Hocam tek bir degeri yoktur' derken? i $x^2=-1$ denkleminin bir çözümü olarak tanımlanan $\sqrt{-1}$ tek değerli bir sayı değil mi? ve bir sayının üssü de tek değere sahip olmaz mı? Reel sayı olmasa da yine bir sayı esasında.

Yukarıda verdiğim bağlantıda Doğan Dönmez bey'in verdiği yorum, sorunun doğru çözümüdür. $i^i$ için verilen tek sonuçlu cevaplar yanlıştır. (Hocamızın yorumundaki çözümü yeterince açık olduğu için benzer şeyleri tekrar etmek istemedim)

Hocam asıl nedeni anlayamadım okumuştum yorumu teşekkür ederim

Bu ifade çok değerli bir ifade olmasına rağmen, bu değerlerin hepsi reel sayı. Enteresan.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$z, w \in \mathbb C $ olmak üzere $ z^w = e^{w\log(z)}$ biçiminde tanımlanır.

Ayrıca $\log(z) = \ln|z| + i\arg (z)$ olarak tanımlanır. Buna göre $k\in \mathbb Z$ keyfi bir tamsayı olmak üzere

$i^i = e^{i\cdot \log(i)}= e^{i \cdot \left(\ln|i| + i \left( \frac{\pi}{2}+2k\pi \right)\right)}= e^{ - \left( \frac{\pi}{2}+2k\pi \right)}$ biçiminde hesaplanır.


Bir başka örnek daha ekleyebiliriz:

$(1-i)^{(1+i)}=e^{(1+i)\cdot (\log(1-i) )}= e^{(1+i)\cdot \left(\ln|1-i| + i \left( \frac{7\pi}{4}+2k\pi \right)\right)}= e^{ (1+i)\left( \ln\sqrt2+i\left(\frac{7\pi}{4}+2k\pi \right)\right) }$ biçiminde hesaplanır. $(1+i) \cdot \left( \ln\sqrt2+i\left(\dfrac{7\pi}{4}+2k\pi \right)\right)$ ifadesinde parantezler açılarak standart biçimde yazmak maksadıyla biraz daha düzenlemeye gidilebilir. Yine burada da $k\in \mathbb Z$ keyfi bir tamsayı olduğundan çok değerli bir ifade elde ederiz.

(1.1k puan) tarafından 
19,119 soru
21,037 cevap
69,886 yorum
23,365 kullanıcı