$i^i$ sayısı eşiti

Question

i karmaşık (komplex) sayı olmak üzere ; $i^i$ ifadesi neye eşittir? Başka bir deyişle farklı formlarda nasıl ifade edebiliriz? Örneğin taban e olur gibi... Anlatabilmişimdir umarım:)

Şu konuda vardı bir cevap da daha ayrıntılı anlatılabilir mi

Comments

Ben konuya tam hâkim değilim ama şu yorumda bulunabilirim:

$i=(-1)^\frac{1}{2}$ ve $e^{\pi.i}=-1$, bu özdeşlikte iki tarafında karekökünü alırsak $e^\frac{\pi.i}{2}=i$

oluyor. Sonra iki tarafında $i$inci üssünü alıyoruz ve üssün üssünde üsler çarpılacağı için $e^\frac{-\pi}{2}=i^i$ oluyor.

---

$i^i$ çok değerli bir ifadedir. Tek bir değeri yoktur. Fakat esas argüment değeri kullanılırsa $e^{- \frac{\pi}2}$ oluyor. Ayrıca bu problem http://matkafasi.com/17229/%24i-i%24-ifadesinin-esitini-bulun linkinde daha önce cevaplanmıştır. Sorular sorulmadan önce site içinde arama yapılırsa tekrara düşülmemiş olur.

---

Hocam tek bir degeri yoktur' derken? i $x^2=-1$ denkleminin bir çözümü olarak tanımlanan $\sqrt{-1}$ tek değerli bir sayı değil mi? ve bir sayının üssü de tek değere sahip olmaz mı? Reel sayı olmasa da yine bir sayı esasında.

---

Yukarıda verdiğim bağlantıda Doğan Dönmez bey'in verdiği yorum, sorunun doğru çözümüdür. $i^i$ için verilen tek sonuçlu cevaplar yanlıştır. (Hocamızın yorumundaki çözümü yeterince açık olduğu için benzer şeyleri tekrar etmek istemedim)

---

Hocam asıl nedeni anlayamadım okumuştum yorumu teşekkür ederim

---

Bu ifade çok değerli bir ifade olmasına rağmen, bu değerlerin hepsi reel sayı. Enteresan.

Answer 1

$z, w \in \mathbb C$ olmak üzere $z^w = e^{w\log(z)}$ biçiminde tanımlanır.

Ayrıca $\log(z) = \ln|z| + i\arg (z)$ olarak tanımlanır. Buna göre $k\in \mathbb Z$ keyfi bir tamsayı olmak üzere

$i^i = e^{i\cdot \log(i)}= e^{i \cdot \left(\ln|i| + i \left( \frac{\pi}{2}+2k\pi \right)\right)}= e^{ - \left( \frac{\pi}{2}+2k\pi \right)}$ biçiminde hesaplanır.

Bir başka örnek daha ekleyebiliriz:

$(1-i)^{(1+i)}=e^{(1+i)\cdot (\log(1-i) )}= e^{(1+i)\cdot \left(\ln|1-i| + i \left( \frac{7\pi}{4}+2k\pi \right)\right)}= e^{ (1+i)\left( \ln\sqrt2+i\left(\frac{7\pi}{4}+2k\pi \right)\right) }$ biçiminde hesaplanır. $(1+i) \cdot \left( \ln\sqrt2+i\left(\dfrac{7\pi}{4}+2k\pi \right)\right)$ ifadesinde parantezler açılarak standart biçimde yazmak maksadıyla biraz daha düzenlemeye gidilebilir. Yine burada da $k\in \mathbb Z$ keyfi bir tamsayı olduğundan çok değerli bir ifade elde ederiz.