Konveks dörtgen sorusu

Question

$ABCD$ konveks dörtgeninde $|AD|=|CD|$ ve $m(ADB)=38^0,m(CDB)=42^0$ ve $m(ABC)=140^0$ olduğuna göre $m(BAC)$ kaçtır?

                                                                                                                        UMO-2018/9

Sinüs teoremini kullanarak bir çözüm yaptım. Geometri sorularının genellikle birden fazla yolla çözümü yapılabiliyor. Bu soru için mesela $BDC$ açısının iç açıortayı $ACD$ üçgeninin çevrel çemberini $E$ de keserse, $E,B,A$ noktalarının doğrusal (doğrudaş) olduğunu göstermekle de sorunun çözümünün yapılabileceğini biliyorum. Ama ben bunun ispatını göremedim. Belki de  üçgen benzerliği/eşliği kullanılarak ya da daha başka çözüm yaklaşımı olabilir.

Answer 1

 Sorulan açı olçüsüne $x$ diyelim ve $ABD$ ve $DBC$ üçgenlerinde sırası ile sinüs teoremi uygulayalım.

$\frac{|AD|}{sin(92-x)}=\frac{|BD|}{sin(50+x)}\Rightarrow |AD|=sin(92-x).\frac{|BD|}{sin(50+x)}$,

$\frac{|CD|}{sin(48+x)}=\frac{|BD|}{sin(90-x)}\Rightarrow |CD|=sin(48+x).\frac{|BD|}{sin(90-x)}$  olur.

$|AD|=|CD|$ olduğundan,

$sin(92-x).\frac{|BD|}{sin(50+x)}=sin(48+x).\frac{|BD|}{sin(90-x)}$ buradan

$sin(92-x).sin(90-x)=sin(48+x).sin(50+x)$ bu eşitlikte $x=21$ için doğrudur.

Comments

@Mehmet Toktaş

Senin soruyu bir de böyle çözmüşler.

---

Teşekkürler sayın funky2000. Bu çözümü gördüğüm iyi oldu. Çözümü hangi siteden aldığınızı yazmanız mümkün mü acaba? Tekrar çok teşekkür ederim.