$i^2$ neden $-1$'e eşittir?

Question

İ^2=-1 eşitliğinin her zaman 0!=1 eşitliğinde olduğu gibi tanımdan olduğunu biliyordum . Fakat bir kanıt veya gösteriminin olabileceğini öğrendim . Bu kanıt veya gösterim nedir?

Comments

0! Matematikteki diger faktoryellerin tanimli olabilmesi icin kabul goruldugunu ogrenmistim.$i^2$'nin -1 olmasi ile bir alakasi oldugunu sanmiyorum.

---

Bir alakası olduğundan değil de örnek bir tanım olarak yazdım . Zaten dediğiniz gibi bir alakası yok

---

Karmasik sayilarin cikis noktasi $\sqrt{-1}=i$ olsun, kabul edelim, hayel edelim.. imaginary number, hayali sayi.

---

$0!=1$ olgusu tanım mı? Yoksa ispat mı?  Bunun için Buradaki yorum ve ispatlara bakabilirsin.

Karmaşık sayılar;  $a>0,n\in N^{+}, x^{2n}+a=0$ şeklindeki  denklemlerin çözümüne bir yol olarak geliştirilmiştir. Dolayısıyla $x^2+1=0\Rightarrow x^2=-1\Rightarrow x=\mp\sqrt{-1}$ dir. Burada $\sqrt{-1}$ sayısını (ki bu real sayı değildir) $i$ olarak alıyoruz,kabul ediyoruz. Buradan da $i^2=-1$ olur zaten.

---

Bende bu denklem üzerinden düşündüm ama türkçe kaynaklarda görmediğimden emin olamamıştım . Teşekkür ederim

---

@acarrezzo Lokman Gökçe'nin cevabının altında tartışıyoruz. Belki ilgini çeker.

Answer 1

$\mathbb C = \{(x,y)|  x,y \in \mathbb R \}$ kümesinin üzerinde toplama ve çarpma işlemlerini aşağıdaki gibi tanımlayalım. 

$(a,b),(c,d) \in \mathbb C $ için

$ (a,b)+ (c,d) = (a+c,b+d) $ ve $(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad+bc) $

Bu işlemlere göre $(\mathbb C, +, \cdot )$ kümesi bir cisimdir. (Cisim şartlarını sağladığı ispat edilebilir) Bu işlemlerle beraber $\mathbb C$ kümesine karmaşık sayılar kümesi denir.

$\mathbb C$ kümesinin elemanları ile $\mathbb R^2 $ analitik düzleminin noktaları arasında bire bir eşleme kurulabilir. $(1,0) \in \mathbb C $ sayısını $x$ ekseni üstündeki $1$ gerçel sayısına karşılık getirelim. Yani $(1,0) = 1$ olsun. $(0,1) \in \mathbb C $ sayısını $i$ sembolüyle gösterelim. Yani $ i= (0,1)$ olsun. Bu durumda her $(a,b)$ karmaşık sayısını $(a,b) = (a,0) + (0,b) = a(1,0) + b(0,1) = a + ib$ biçiminde yazabiliriz. Bu şekilde karmaşık sayıları ve standart gösterimini inşa etmiş oluyoruz.

Şimdi çarpma işleminin tanımından $i^2 = i\cdot i = (0,1)\cdot (0,1) = (0\cdot 0 -1\cdot 1, 0\cdot 1 +0\cdot 1) = (-1, 0) = -1$ elde edilir.

Özet olarak $i^2 = -1 $ eşitliği, karmaşık sayılar kümesinin cebirsel inşası aşamasında, üzerinde tanımlanan toplama ve çarpma işlemlerinden faydalanılarak ispat ediliyor.

Comments

O zaman soru: Karmaşık sayılar üzerinde çarpmayı neden böyle tanımlıyoruz?

---

Neden çarpmayı böyle tanımlıyoruz?

Lisans eğitiminde kompleks fonksiyonlar teorisi dersini alırken bu soruyu ben de kendi kendime sormuştum ve o halde farklı bir çarpma işlemi tanımlayayım dedim. Yaptığım tanımlamaya göre $i=(0,1)$ ve bu defa $i^2 = 1$ oluyordu. Ben de bu kümenin ismi ''Acompex'' sayılar olsun dedim ve koşup dersin hocasına götürdüm. Cevaben $i^n = -1$ ve $i^n = 1$ biçiminde sonuçlar veren daha genel kümeler de tanımlanmıştır dedi. Velhasıl, farklı çarpma işlemleri de tanımlayabilirsiniz. Siz de ''Bcomplex'' ya da daha güzel bir isim verebilirsiniz. Daha önce yapılmamış bir şeyse ilginç sonuçları olabilir, şans.

''Neden çarpmayı böyle tanımlıyoruz?'' sorusunun bir de karmaşık sayı kavramının tarihi gelişim süreci içerisinde bir cevabı var. Karmaşık sayıyı ilk kullananlar yukarıda verdiğimiz türden bir çarpma tanımı vererek işe başlamadılar. Cardano, 3. dereceden denklemi çözebilmek için karmaşık sayıları kullanıyordu ama kendisi de $\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1} = -1 $ yazarken kendinden emin biçimde bunu yapmadığını ifade etmiştir. Çarpma yaparken parantezi dağıtıp $(2+3i)(1+i) = 2 + 5i + 3i^2 = -1+ 5i $ yazıp geçmiştir. Sonraki zamanların matematikçileri ''bu işi düzene koyalım ve emin adımlarla ilerleyelim'' diyerek yukarıdaki cebirsel teknikleri geliştirmişlerdir. Böylece $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+ i(ad+bc)$ dağılma özelliğine uygun bir çarpma tanımlamışlardır.

---

Hah. Aklımdaki cevap da tam olarak buydu (son cümle). Çarpmanın böyle tanımlanması $i^2 = -1$ olmasının ve çarpma işleminin dağılma özelliğinim doğal bir sonucu. Yani $i^2 = -1$ olmasının sebebi çarpmanın böyle tanımlanması değil de çarpmanın böyle tanımlanmasının nedeni $i^2=-1$ olmasi gibi biraz sanki. O yüzden orijinal cevap beni pek tatmin etmedi, soru oradan doğdu. Ama tatmin olmaya da hazırım eğer devamı gelirse.

---

Amaç, karesi negatif olan bir sayı elde etmek ve bu yolla diskriminantı negatif olan ikinci dereceden denklemlerin köklerini bulmak ise, ki tarihi gelişim süreci içinde bu tür bir amaç için reel sayılardan daha geniş bir sayı kümesine ihtiyaç duyulmuştur, bu işe bir tanımlama yaparak başlamak gerekiyordu.

İlk zamanlarda $ i= \sqrt{-1}$ tanımlaması yapılarak çözülmesi amaçlanan denklemlere başarılı biçimde çözümler üretilmiştir. Hatta lise matematik eğitiminde de tarihi gelişim sırasına uygun ve öğrenme kolaylığı sağlayan $i=\sqrt{-1}$ tanımlaması ile karmaşık sayılar konusunu öğretiyoruz. Kare alınca da $i^2=-1$ elde ediliyor. Fakat bu tanımlamada matematikçi gözüyle  rahatsız olmamız gereken bazı durumlar vardır. $\sqrt{-1}$ negatif bir sayının karekökünü gösteriyor ve böyle tek başına bir anlamı yoktur. Bunu $i$ ye eşitlemekle hiçbir şey yapmış olmuyoruz ki? Cardano, o zamanlar ne olduğunu doğru düzgün bilmediğimiz $\sqrt{-1}$ terimini içeren sayılarla bazı aritmetik işlemler yapıyor ve bir şekilde kübik denklemleri çözüyor. Ne yaptığımızdan emin değiliz ama $ i= \sqrt{-1}$ işe yarıyor düşüncesiyle ilerlemek rahatsız edici.

İşin kökenini oluşturan $ i= \sqrt{-1}$ tanımlamasının diğer bir rahatsız edici tarafı ise, karmaşık sayıların karekökünü alırken $\sqrt{a+ib}$ gibi bir sayının iki tane karekökünü buluyoruz. Bu karekökleri veren formüller de geliştirilmiştir. $0$ haricindeki sayıların körekökü hesaplanırken iki farklı karekök değeri elde edilebilmesi meselesini liselerde yıllarca üstüne basa basa anlattık. Bunların argümetleri arasında $180^\circ $ fark vardır vs. Örneğin $\sqrt{3+4i}$ için $2+i$ ve $-2-i$ değerlenini karşılık getiriyoruz öyle değil mi? Şimdi $\sqrt{a+ib}$ ifadesinde $a=-1$ ve $b=0$ için çalışalım. $\sqrt{-1}$ olur ve burada da iki karekök bulmamız gerekir. Gerekli işlemler ve formüller kullanarak bunları $i$ ve $-i$ olarak bulabiliriz. İşte bir rahatsız edici durum daha: $ \sqrt{-1} = - i $ olabiliyormuş.

O zaman karesi $-1$ i verecek sayıyı inşa etmek için önünüzde iki yolunuz var. Ya karmaşık sayılar kümesinin cebirsel inşasını sağlam temeller üzerine yeniden yapacaksınız (bunu çözüm olarak verdiğim mesajda yaptık) ya da zor yolu seçip $i=\sqrt{-1}$ diyerek yapacaksınız. İki halde de $i^2 = -1 $ eşitliğini bir şekilde elde edersiniz. İkincisi, bir şeyleri  tanımlıyor gibi görünse de hiçbir şey anlatmıyor.

Son söz olarak, pedagojiye uygun olduğu için liselerde $i=\sqrt{-1}$ yazılışını tercih ederiz. Karmaşık sayıyı ilk defa öğrenecek öğrenciye $(\mathbb C,+,\cdot )$ cisminin inşasıyla konuya girersek konuyu tarihi gelişiminden ve temellerinden kopardığımız için eğitim bilimlerinde 'epistemolojik etkenler' olarak isimlendirilen etkenlerle öğrencileri baş başa bırakmış oluruz. Öğrencinin matematiği daha zor anlamasına sebebiyet veririz.

---

Evet. $\sqrt{-1} = i$ demek baya rahatsız edici ama zaten muhabbetin başından beri hiç demedik :) (şimdi kontrol ettim, başkaları en yukarıdaki yorumlarda demiş).

Ama bunu böyle demek yerine şöyle demeyi tercih etsem: "$x^2 +1=0$ denkleminin $\mathbb{R}$'da çözümü yok. Bu denklemin olmayan bir kökünü reel sayılara ekleyeyim. Bunu ekledikten sonra da toplama ve çarpma işlemlerinin gereği eklemem gereken diğer sayıları ekleyeyim"?

Bunun aşağıdakilerden farkı ne? 

Doğal sayılarda toplama ve çarpma yapıları var, bir de çıkarma dediğimiz bir işlem var ilk sayı ikincisinden büyük ise. $x-3=0$ gibi denklemleri doğal sayılar evreni içerisinde kalarak çözebiliyoruz. Ama $x+1=0$ denklemini çözemiyoruz bu evrende kalarak. Çünkü doğal sayılar evreninde bir fazlası sıfır olan bir sayı yok. O zaman bu denklemin bir kökünü doğal sayılara ekleyelim: adına da $j$ diyelim. Toplama ve çarpma işlemleri gereği $j + j$, $j + j + j$ gibi sayıları da eklememiz lazım. Burada $j$ sayısı bir fazlası $0$ olan bir sayı. Doğal sayılar evreninde böyle bir sayı yoktu, ekledik. $j$ için kullandığımız başka bir sembol var: $-1$. Bu sayıyı doğal sayılara eklersek $-2 = j+j,-3 = j+j+j$ vs. sayılarını da ekleyip tam sayılar evrenini oluşturuyoruz.

Tam sayılar evreninde toplama ve çarpma var. $a$ tam sayı olmak üzere $x+a=0$ şeklindeki her denklemi bu evrende kalarak çözebiliyoruz. Ama mesela $2x - 1=0$ şeklindeki denklemleri çözemiyoruz. Bu denklemin bir kökü olsaydı, iki katı $1$ yapan bir sayı olacaktı. Ama bu evrende böyle bir sayı maalesef yok. Ne yapacağız? Bu yeni sayıyı evrenimize ekleyeceğiz. Süper. Şimdi toplama ve çarpma işlemleri gereği $1/2, 3/2, -5/2$ gibi yeni sayılarımız var.

Yeni evrenimizde $2x + a =0$ şeklindeki her denklemi çözebiliyoruz. Ama $3x +a=0$ şeklindeki denklemler sıkıntı. $3x-1=0$ denkleminin bir çözümü yok. Ne yapalım, ekleyeceğiz. Bunu ekleyince mesela $1/6$yı da eklemek zorundayız.

Bu şekilde, $b\neq0$ olmak üzere $bx - a =0$ denklemlerinin köklerini tam sayılara eklersek rasyonel sayılar dediğimiz sayıları elde ediyoruz. 

Ama mesela rasyonel sayılar evreninde $x^2-2=0$ denkleminin bir çözümü yok. Ne diyeceğiz? Buraya kadarmış mı diyeceğiz? Bu zamana kadar demedik. Bu denklemin bir kökünü $j$ diyelim. O zaman $j^2= 2$ olmalı. Toplama ve çarpmanın doğal sonucu olarak $a,b$ rasyonel sayılar olmak üzere $a +bj$ şeklindeki her sayıyı evrenimize ekledik. Toplama işlemini $$a+bj +c+dj = a+c +(b+d)j$$ diye tanımladık doğal olarak. Çarpma işlemini de $$ (a+bj)(c+dj) = ac + bcj + adj + bdj^2 = ac + 2bd +(ad +bc)j$$ diye tanımladık, yine doğal olarak. Bu arada eğer $j$ bu denklemin bir kökü ise $-j$ de bu denklemin bir kökü olmalı. $j$'ye pozitif ya da herhangi bir değer katmadım dikkat edersen. Ama biliyorum ki iki tane kök var ve biri $j$ ise diğeri $-j$.

Bunlardan farklı olmayan bir şekilde şimdi elimizde reel sayılar evreni olduğunu düşünelim. Bu evrende $x^2 +1=0$ denkleminin çözümü yok. Tıpkı yukarıdaki değişik evrenler ve denklemlerde olduğu gibi. O zaman bu denklemin bir kökünü ekleyeyim. Buna da $j$ değil de $i$ diyeyim. Bunun yukarıdakilerden farkı var mı? Varsa nedir? 

Dikkat edersen hiçbir yerde $i =\sqrt{-1}$ demedim, sadece karesi $-1$ olan bir sayı dedim. Tıpkı dikkatlice hiç $\sqrt{2}$ sembolü kullanmadığım gibi. Yorumda yazdıklarına tamamen katılıyorum. $\sqrt{-1}$ yazmak kötü ve de cisim inşasıyla baslamak daha da kötü. Ama benim ilk yorumumda da parmak basmak istediğim konu buydu.

---

Yorumunuz için teşekkürler.  Rasyonel sayıların inşasında sıkıntı var, tam sayılar kümesine $\frac12$ eklemek yetmiyor, sonsuz çoklukta terim eklemiş oluyorsunuz. Ayrıca $x^2-2=0$ ın köklerini kullanarak da gerçel sayıların inşasında sıkıntı var. Bunu yaparak $\mathbb Q [\sqrt2]$ cismini inşa etmiş oluyorsunuz. Tabii bu cismi inşa etmek için yine toplama ve çarpma işlemlerinizin kurallarını da tanımlamanız gerekir. Yani $\mathbb Q [\sqrt2]$ de toplama ve çarpmayı nasıl yapacağını dinleyicilerin bilmesi gerekmiyor. O kavramı ortaya atanın bunu da işlemleri de tanımlayarak üzerinde çalışacağı cismi dinleyicilere tanıtması gerekir. Bunları belirlemek oyunun kurallarını, çerçevesini belirlemektir. Bu hatırlatmaları yaptıktan sonra ana konumuza devam edelim.

Siz $i=\sqrt{-1}$ yazdığınız ya da yazmadığınız için bu yazılış kötüdür demedim. Bu yazılış yaygın olarak kullanılan bir argüman olduğu için bunu örnek verdim. Karesi $-1$ olan bir sayıyı gerçel sayılara ekledik diyelim. Sadece bu eklemeyi yapınca karmaşık sayılar kümesini tanımlamış olmuyoruz. Mutlaka toplama ve çarpma işlemlerini nasıl yapacağımızı vermeniz gerekir. Bunu yaparsanız kendi sayı cisminizi de inşa etme hakkına sahip oluyorsunuz. 18 yıl öncesiyle ilgili öğrencilik zamanımdan bahsettiğim $i^2=1$ olan farklı bir cisim inşa etme denemesini yaptım, benim için öğretici de olmuştu. Böylece tek türlü çarpanlara ayrılabilir bölge (TAÇ bölge) olmayan bir polinom halkası örneği bulmuş oldum, güzel oldu. Bu tür şeylerden dolayı değişik cisim tanımlamaları yapmanızın kişisel olarak faydası olacağını düşünüyorum. Derinlemesine düşünmeyi alışkanlık haline getirmiş zihinler için çerçevesi ve kuralları belirli olmayan bir alanda çalışma yapmak rahatsız edicidir. Nihayetinde işin sağlam temeller üzerine kurulabilmesi için bir küme üzerinde toplama ve çarpma işlemleri tanımlamaya mecburuz.

Cisim inşasıyla başlamak daha kötü derken ne tür bir kötü durumla karşılaşıyoruz, tam anlayamadım?

---

Uzun zamandır bu sitede kimseyle böyle karşılıklı konuşmamıştık. Iyi oldu, teşekkürler.

Öncelikle birkaç düzeltme yapayım. Tabii ki 1/2 eklemek yetmiyor rasyonel sayıları elde etmek için. Zaten 1/2 paragrafından sonra bütün birinci dereceden tam sayı katsayılı polinomların köklerini de eklemek gerekir demiştim rasyonel sayıları inşa etmek için. Ve tabii ki rasyonel sayılara karesi iki olan bir sayı ekleyerek bütün reel sayıları elde edemeyiz. Onu da iddia etmemiştim zaten. Transandantal reel sayılar cebirsel reel sayılardan kat kat fazla olduğundan dolayı zaten reel sayıları böyle kurmak mümkün değil.

Tek iddia ettiğim şey şu: $1$ fazlası $0$ olan bir sayının varlığı ya da karesi $2$ olan bir sayının varlığı bizi (ya da öğrencileri) rahatsız etmezken karesi $-1$ olan bir sayının varlığından neden rahatsızlık duyalım (duysunlar)? Aradaki fark ne?

Eğer arada fark yoksa neden "$i$ sembolünü karesi $-1$ olan bir sayıyı göstermek üzere kullanıyoruz" demek yerine $\mathbb{C}$'yi reel sayı ikilileri kümesi üzerinde toplama ve çarpma işlemleriyle birlikte böyle tanımlayıp $(0,1)$ ikilisine $i$ diyip karesinin $-1$ olduğunu kanıtlama ihtiyacı duyduk?

Ya da aynı şeyi şu şekilde sorayım: Neden $(\sqrt{2})^2 =2$'dir sorusuna aşağıdakilerden hangi cevabı verirsiniz? a mı b mi?

a) çünkü $\sqrt{2}$ sembolün tanımı gereği karesi $2$ olan bir sayıdır.

b) $\mathbb{Q}[2] = \{(x,y)| x,y \in \mathbb{Q}\}$ kümesinin üzerinde toplama ve çarpma işlemini şöyle tanımlayalım: 

$(a,b)+(c,d) = (a+c, b+d)$ ve

$(a,b)(c,d) = (ac+2bd, ad+bc)$

$(1,0)$ elemanını $1$ ile ve $(0,1)$ elemanını $\sqrt{2}$ ile gösterelim. Şimdi çarpma işleminin tanımından $$\sqrt{2} .\sqrt{2} = (0,1) . (0,1) = (2,0) = 2$$

elde edilir. Özet olarak $(\sqrt{2})^2 = 2$ eşitliği $\mathbb{Q}[2]$ cisminin inşası aşamasında üzerinde tanımlanan toplama ve çarpma işlemlerinden yararlanılarak ispat ediliyor.

---

Başka bir şeye daha cevap vereyim: Evet karesi $-1$ olan bir sayı ekleyince her şey bitmiş olmuyor. Ama eğer kompleks sayılar üzerinde çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği olmasını istersek çarpma kendiliğinden tanımlanmış oluyor. Bunu bir önceki yorumumda $\sqrt{2}$ örneğinde göstermiştim. Kuralları tanımlamama gerek yok. Eğer çarpmanın toplama üzerinde dağılma özelliği olması kuralını getirirsem ve toplamanın değişmeli olması gerektiğini söylersem toplama da çarpma da kendi kendine tanımlanıyor. 

Eğer $i^2 = -1$ olsun isterseniz ve çarpmanın toplama üzerinde dağılma özelliği olmasını isterseniz

$$(a + bi)(c+di) = ac -bd +(ad +bc)i$$ şeklinde tanımlamak zaten zorundasınız çarpmayı. Başka türlü tanımlayamazsınız. Yani çarpmanın böyle tanımlanması $i^2 = -1$ olmasının doğal bir sonucu.

---

Araya girmiş gibi olmayayım ama, hazır konuya hakim iki arkadaş bulmuşken aşağıdaki soruyu sormak istiyorum.

$f:R\rightarrow R,f(x)=x^2+1$ parabol grafiğinde $x^2+1=0$ in kökleri(sağları) olan $i=(0,1),-i=(0,-1)$  noktalarının anlamı ve önemi nedir acaba?

---

Rahatsızlık oluşturan nokta, bu karmaşık sayılar arasındaki işlemleri tanımlamadan bazı hesaplamalar yapmaya girişmektir. Önce tanımımızı yapmalıyız, sonra hesaplamalarımızı tanımımızın kurallarına uygun olarak yapmalıyız.

Bu aşamadan sonra $(\sqrt2)^2$ sayınızı isterseniz a) daki gibi bir tanımlamayla hesaplayınız, isterseniz de b) deki gibi cisim inşa ederek hesalayınız. İkisini de kabul ederim. b) deki tanımlama ile $\sqrt3$ sayısının karesini hesaplayamazsınız ve çok özel bir durumda çalışma yapmış olursunuz ama yine de doğrudur.

Yazdığınız mesajdan konuyu anladığınızı düşünüyorum. Son paragrafınızdaki, $i^2=-1$ olsun isterseniz çarpmayı böyle tanımlamak zorundasınız dediniz buna katılırım. Bundan sonrasında Çarpmanın böyle tanımlanması $i^2=-1$ olmasının doğal bir sonucu dediniz, buraya katılamıyorum. Buna katılırsak tekrar başa dönmüş oluyoruz. Çarpma tanımını bir sonuç olarak değil, bir neden olarak algılıyorum.

---

Bu tür bir soru benim de aklıma gelmişti ama $y=f(x)$ parabolünün analitik düzlemdeki grafiği ile $f(x)=0$ denkleminin karmaşık kökleri olan $m+ni=(m,n)$ ve $m-ni=(m,-n)$ sayılarına analitik düzlemde karşılık gelen noktalar arasında bir ilgi göremedim.

---

@Mehmet Toktaş

Eğer bu fonksiyonu reel sayılardan reel sayılara giden bir fonksiyon olarak görüyorsanız, bu noktaların hiçbir önemi yok. Çünkü bu sayılar reel sayılar evreninde yaşamıyorlar. Reel sayılardan reel sayılara giden bir fonksiyonun grafiği düzlemde $(x, f(x))$ noktalarının bir kümesi. 

Ama bu fonksiyonu karmaşık sayılardan karmaşık sayılara giden bir fonksiyon olarak da görebilirsiniz. Maalesef bu fonksiyonun grafiğini çizmeniz mümkün değil zira bu grafik $\mathbb{C} \times \mathbb{C}$'de yaşıyor. Yani reel boyutu 4 olan bir uzayda yaşıyor. Ama yine de bu fonksiyonun kompleks düzlemde ne yaptığını gözümüzde canlandırmak mümkün. Öncelikle bu fonksiyonu $f(z) = z^2$ ve $g(z) = z+1$ olmak üzere $g\circ f$ olarak yazın. $f$ fonksiyonunun ne yaptığını polar koordinatlarda görmek daha kolay, düzlemde bir noktayı alıyor açısı kadar saat yönünün tersine döndürüyor, aynı zamanda uzunluğunun da karesini alıyor (yani boyu 1'se 1 kalıyor, boyu 1'den kısaysa daha da kısalıyor, boyu 1'den uzunsa boyu uzuyor). $g$ fonksiyonu da bütün düzlemi bir birim sağa kaydırıyor. Bileskesini aldığınızda $(0,1)$ noktasının 90 derece saat yönünün tersine dönüp $-1$'e gittiğini oradan da bir birim sağa kayıp $0$'a gittiğini görüyoruz. $(0,-1)$ noktası da 270 derece dönüyor ve yine $-1$'e gidiyor, oradan da sağa kayip $0$'a gidiyor.

Karmaşık fonksiyonların ne yaptığını çizen bazı programlar var internette. Gözünüzde canlandırmak isterseniz.

---

@Lokman Gökçe

• Peki bize biri geldi ve "Neden $(\sqrt{2})^2=2$ yapıyor" diye sordu. Biz de b şıkkındakı gibi cevapladık. Bir sonraki soru "Ya bir dakika, bu çarpma işlemi nereden geldi peki" oldu. Ne diyeceğiz?
• "Eğer $i^2=-1$ olduğunu varsayıyorsanız ya da $i^2=-1$ olsun istiyorsanız çarpmayı böyle tanımlamak zorundasınız" ile "Çarpmanın böyle tanımlanması $i^2=-1$ olmasının bir sonucu" cümleleri arasındaki farkı ben anlamıyorum. Ikisini de aynı şeyi belirtmek için kullandım. Birine katılıp birine katılmamanızı anlayamadım. Demek ki yeteri kadar açık olamamışım tekrar deneyeyim.

Rasyonel sayılarda karesi iki olan bir sayı yok. Şimdi ben yeni bir cisim (sayı evreni) yaratmak istiyorum. Bu yeni cisimde rasyonel sayıların yanısıra karesi 2 olan bir sayı olsun istiyorum. Kolaylık olsun diye bu yeni cisme $C$ diyeceğim. Adım Özgür olduğu için bu sayıya $Ö$ diyeceğim. Bu sayının özelliği $Ö^2 = 2$ olması. Bu özellik onu rasyonel sayılardan ayırıyor. 

Eğer $C$ bir cisimse (yani belirli kurallar altında toplama ve çarpma işlemi yapabiliyorsam) ve bu cisim $Ö$'yü içeriyorsa, $2Ö, 3Ö$ gibi sayıları da içermeli. Genel olarak $Ö$'yü ve rasyonel sayıları içerdiği için, her $b\in \mathbb{Q}$ için $bÖ$ sayısını da içermek zorunda bu cisim. Eğer bu $C$ kümesi üzerinde çarpma işlemi olsun istiyorsam $C$ kümesi $bÖ$ elemanlarını içermeli. $C$ kümesinin $bÖ$ elemanlarını içeriyor olması $Ö$'yü içermesinin doğal bir sonucu. Rasyonel sayıları ve $Ö$'yü içeren bir cisim $bÖ$ elemanlarını içermemezlik yapamaz.

Şimdi toplama yapalım biraz. Mesela bu cisimde $2+5Ö$ gibi elemanlar da olmalı. Olmamazlık edemezler bu elemanlar. Yoksa cisim cisim olmazdı. Mesela $3+7Ö$ de olmalı bu cisimde. Genel olarak her $a,b$ rasyonel sayıları için $a+bÖ$ şeklindeki sayıları katmak zorundayım bu cisme. $C$'nin bu sayıları içermesi bizim $Ö$'yü rasyonel sayılara katmak istememizin doğal bir sonucu.

Bu yeni cisimde başka eleman eklememiz gerekli mi? Yeni oluşturduğumuz elemanlar $a+bÖ$ şeklinde elemanlar. Mesela $1+Ö$ ve $2+4Ö$ elemanlarını alayım. Bunları toplasam ne olur? Eğer $C$ bir cisimse toplamanın sırası önemsiz ve çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği olmalı:

$$1+Ö+2+4Ö = 1+ 2 + Ö+4Ö = 3+ (1+4)Ö= 3+5Ö$$

Bu toplamı ben tanimlamadım. Sadece $C$'nin bir cisim olmasını istedim. Genel olarak aynı şeyi yapabilirim.

$$a +bÖ + c + dÖ = a +c + bÖ+ dÖ = a+c + (b+d)Ö$$

Yine söylüyorum. Ben bunu tanımlamadım. Sadece $C$'nin rasyonel sayıları ve $Ö$'yü içeren bir cisim olmasını istedim. Gerisi kendiliğinden geldi. Basit toplama çarpma kurallarım olmasini istiyorsam bu toplam bu olmali, olmak zorunda. Bunu tanımlamama gerek yok. Sadece $C$'nin rasyonel sayıları ve $Ö$'yü içeren bir cisim olduğunu söylesem yeter.

Şu ana kadar elimizde $a+bÖ$ şeklinde elemanlar vardı. Toplama yaparak yeni tarz elemanlar elde edemeyeceğimizi gördük. Toplam yine aynı formda oldu.

Çarpma yapmayı deneyelim. Mesela $3$ ile $2 + 5Ö$'yü carpalim. Eğer $C$ bir cisimse çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği olması lazım.

$$3(2+5Ö) = 3.2 + 3.5Ö = 6 + 15Ö$$

olmak zorunda. Bunu biz tanımlamadık. Çarpma ve toplamanın özelliklerinin doğal bir sonucu. Şimdi $2+3Ö$ ile $3+5Ö$'yü carpalim.

$$(2+3Ö)(3+5Ö) = 2.3 + 2.5Ö + 3Ö.3 +3Ö.5Ö = 6 + 10Ö +9Ö+ 15Ö^2$$

$Ö^2=2$ olmasının bu sayının özelliği olduğunu söyledik en başta. Bu sayıyı böyle bir sayı kabul ettik. Dolayısıyla yukarıdaki işlemi şöyle devam ettirebiliriz:

$$= 6 + 19Ö+ 15.2 = 36 + 19Ö$$

Bu işlemi ben tanımlamadım. Ben sadece toplama ve çarpmanın basit kurallara uymasını istedim. Genel olarak

$$(a+bÖ)(c+dÖ) = ac + adÖ + bÖc + bÖdÖ = ac + (ad +bc)Ö + bdÖ^2 =  ac +2bd+(ad+bc)Ö $$

Tekrar ediyorum. Herhangi bir çarpma tanımlamadık. Sadece $Ö^2=2$ olsun ve toplama ve carpma basit aritmetik kurallarına uysun istedik. Doğal olarak çarpma bu oldu. Başka türlü olmazdı, olamazdı. Mümkün değildi. Çünkü $C$'nin rasyonel sayıları içeren ve karesi 2 olan bir sayıyı içeren bir küme olmasını, bu kümede toplama ve çarpma yapabilmeyi ve bu işlemlerin basit aritmetik kurallara uymasını istedim. Çarpma islemini tanımlamadım. Kendi kendine tanımlanmış oldu. Doğal sonuçtan kastım bu. 

"Çarpma neden böyle tanımlandı?" Çünkü $Ö^2=2$ olan bir sayı olsun istedim. 

Şimdi aynı hikayeyi reel sayılar ve karesi -1 olan bir sayi ile tekrar yazalım. Bu sayıya $Ö$ deneyelim de $i$ diyelim. Çarpma nasıl tanımlanmak zorunda?

---

Bu kadar uzun uzun yazdıktan sonra galiba farkettim nerede sıkıntı yaşadığınızı: "Önce tanımımızı yapmalıyız".

Evet. Yapmalıyız. Ama bir cismi tanımlamak için toplama ve çarpmasını tanımlamamıza gerek yok. Kompleks sayıları şöyle tanımlayabiliriz: Reel sayıları ve karesi $-1$ olan bir sayıyı içeren en küçük cisim. Bu bir tanım. Bu tanım bir üstteki hikayede olduğu gibi toplama ve çarpmanın ne olması gerektiğini belirliyor. Ben size bu tanımı verirsem, siz çarpmanın nasıl tanımlanması gerektiğini kendi kendinize çözebilirsiniz.

Bu, karmaşık sayıları tanımlamak için bir yöntem. Bu tanımda çarpma işleminin tanımı $i^2 = -1$ olmasının bir sonucu.

Bir diğer yöntem de direkt olarak toplama ve çarpma işleminin tanımını vermek. Bu sizin orijinal cevapta yazdığınız. Bu tanıma göre $i^2 = -1$ olması, çarpmanın tanımının bir sonucu.

İlk tanımı ikinci tanıma göre daha uygun buluyorum. Çünkü ikinci tanımda (eğer karmaşık sayıları ilk defa görüyorsam) size "Bu çarpma nereden geldi ya?" diye sorarım. Bu carpma tanımı uzaydan gelmedi sonuçta. Çarpmayı öyle tanımladınız ÇÜNKÜ $i^2=-1$ olmasını istediniz. Rastgele bir tanım yapıp "Aaa bak şu işe, karesi $-1$ olan bir sayı çıktı" demediniz. Şans eseri olmadı bu, $i^2=-1$ olduğu için / olmasını istediğiniz için çarpmayı böyle tanımladınız. Yani sizin yönteminizde de çarpma, $i^2 = -1$ olmasının bir sonucu.

---

Özgür bey merhaba,

Literatürde karmaşık sayının formal ve informal olmak üzere iki tanımı var. Formal tanım, (bildiğim kadarıyla) Leonard Eugene Dickson tarafından verilen tanımdır ve Atatürk Üniversitesi'nde lisans eğitimimizde bizlere sunulan karmaşık sayı inşası bu biçimdedir. $i^2=-1$ eşitliğinin ispatı da bu şekilde verildi. Şahsen çok beğenmiştim ve burada da sundum. İnformal tanım ise $a,b \in \mathbb R $ ve $i=\sqrt{-1}$ olmak üzere $a+ib$ biçimidir. 

L. E. Dickson'ın tıpkı karmaşık sayının formal tanımında yaptığı gibi yeni cebirsel yapılar inşa etmek için genelleştirdiği bir yöntemi de vardır. Bu  kısmı ile ilgili ileri seviye bilgim yoktur. Euclid geometrisi üzerine bazı teorileri ve problemlerini 1890'lara ait American Mathematical Montly dergilerinde bulup ilgiyle okumuştum. Daha çok bu yolla ismini öğrendim.

Bize verilen matematik eğitiminin gereği tanımları ortaya koyup ondan sonra teorem ispatı veya problem çözümüne geçilir. Bir kafa karışıklığı yaşadığımı düşünmüyorum. Literatürde olan bir yaklaşımı sunduğumu belgelemek için mevcut iki tanımı içeren proof.wiki sayfasının resmini ekliyorum. Bunların dışında yeni tanımlar yapılıp sunulabilir belki. $i$ ile ilgili bilgiyi yapılandırma biçmimi, $i$ den ne anladığımı anlattım. Karşılıklı konuştuk, fikir alışverişinde bulunduk. Umarım takip edenler için de faydalı olmuştur. Katılan herkese teşekkür ediyorum.

---

Ben teşekkür ediyorum, aylardır siteye girip girip çıkıyordum. Sayenizde tekrar canlandı hevesim.

---

Ben de  hem sayın @lokman gökçe'ye hem de sayın @Ozgur'e çok teşekkür ederim.