polinomlarda kalan-tanımlı olma

Question

$(x-4)p(x)=x^3-3x^2-2x-8$  olduğuna  göre, p(x) polinomunun (x-4) ile bölümünden kalan kaçtır?

Bu soru için her iki tarafı $(x-4)$'e bölmek ve daha sonra $p(x)=x^2+x+2$ elde ederek p(4)=22 sonucunu bulmak doğru mudur? Çözümlü bir kitapta çözümü böyle yapılmış.

Benim tereddüt ettiğim nokta $x=4$ için eşitliğin her iki tarafını $(x-4)$'e bölmenin doğru olamayacağından kaynaklanıyor. Bu tip sorularda hep bu çözüm var.

Acaba polinomların kesirli olamayacağından mı bu yapılıyor?

Yani $(x-4)p(x)=x^3-3x^2-2x-8$ ise

$p(x)=$ $\frac{x^3-3x^2-2x-8}{x-4}$ olunca sadeleşme olmak zorunda mı oluyor?

Ama x=4 için sadeleşmesi de kafamı karıştırıyor.

Şimdiden teşekkürler.

Comments

Sadeleşme olarak değil de $(x-4)P(x)=(x-4)(x^2+x+2)$ olarak düşünürsek,bu eşitlikte P(x) nedir?

---

Mehmet Hocam, bu eşitlikte P(x) nedir? demişsiniz. İşte orada x=4 için p(x) herşey olabilir.

Sadece x, 4'ten farklıysa p(x)' i bulabiliriz. Tam da x=4 için çözüm arıyoruz.Orayı anlayamıyorum.

İlginize çok teşekkür ederim.

---

Hangisini önce yapmalıyız? P(x)'i bulup $x=4$ yazmayı mı? Yoksa $x=4$ yazıp $P(x)$'i bulmayı mı?

Answer 1

$P$ polinom ise olmak zorunda. Diger turlu sifir olmayan bir kalan elde ederiz ve bir $Q$ polinomu icin, $x\ne 4$ oldugunda  $$P(x)=Q(x)+\frac{a}{x-4}$$ olur. $P-Q$ da bir polinom olacagindan $x\ne 4$ icin $$\frac{a}{x-4}$$ kurali ile verilen fonksiyon da polinom olmali olur. Fakat degil!

Her ne kadar son dedigimi ispatlamak icin birkac soz sarfetmek gerekse de polinom olmadigini bilgi olarak biliyoruz.

Turev ile bunu olcebiliriz: Derecesi $n$ olan bir polinomun $n+1$. turevi her noktada sifir olur ama bu fonksiyon icin bu soz konusu degil.

----

Son soz: Bolmuyorsa $P$ polinom degildir. Polinom degilse ve polinom dendiyse soru hatali olur.

Comments

Sercan Hocam, açıklamanızı inceliyorum, en başta söylediğinizi net anlamak istiyorum:

P(x)'in polinom olduğu verilmişse bir sorun yok,iki taraftan (x-4) atılabilir" mi dediniz. İncelemeyi yaparken en baştan yanlış bakmayım.İlginize çok teşekkür ederim.

---

Evet, $P$ polinom ise bolmek zorunda. Bolmuyorsa da $P$  polinom degildir.