Trigonometrik Denklem

Question

Selamlar

$$\dfrac{\sqrt{2}}{\sin x}+\dfrac{1}{\cos x}=8\cdot \cos2x$$ denklemini sağlayan x dar açılarının toplamı kaçtır?

Payda eşitleme,kare alma ,$\sqrt{2}$ ve 1 yerine trigonometrik karşılığını yazma dahil ne denediysem birşeye benzetemedim. Soruda bir problem mi var yoksa kaçırdığım bir şey mi anlamadim. Fikri olan varsa sevinirim. Kolay gelsin

Comments

(1) Verilmis bir dar aci var mi?

(2) Elimizde $$\dfrac{\sqrt{2}}{\sin x}+\dfrac{1}{\cos x}=8\cdot \cos2x$$ var. Her iki tarafi sifir olamayacak $\sin x \cos x$ ile carparsak $$\sqrt2\cdot \cos x+1\cdot \sin x=4\cdot \cos 2x\cdot \sin 2x=2\sin 4x$$ esitligini elde ederiz. Buradan $$\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\cdot \cos x+\frac1{\sqrt3}\cdot \sin x\right)=2\sin 4x$$ oldugunu elde ederiz. $\sin \theta=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}$ dersek $$\sqrt3\sin(x+\theta)=2\sin 4x$$ olur. Yani $$\frac{\sqrt3}{2}\sin(x+\theta)=\sin 4x$$ olur. Burada $\sqrt3/2$ yerine $\sin(\pi/3)$ yazilabilir ama pek ise yarayacagini sanmiyorum.

(3) Aslinda sorulan toplamlari yani acilari bulmadan da belki toplamlarini bulabiliriz. Ornegin $x$ saglarsa $A-x$  de saglar diyebilecegim sekilde bir ikileme ya da ucleme bulamadim. Dolayisila nasil cevap verilir bilmiyorum. 

---

$$f(x) = \frac{\sqrt{2}}{\sin(x)} + \frac{1}{\cos(x)} - 8 \cos(2x)$$

olsun. Bu fonksiyon $(0, \pi/2)$ araliginda istedigin kadar turevlenebilen guzel bir fonksiyon.

(1) $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^{-}} f(x) = \infty$$

 ve her $x \in (0, \pi/2)$ icin $f''(x) > 0$. Yani uclari sonsuza giden yukari dogru konkav olan bir grafigimiz var. Demek ki en fazla 2 tane koku olabilir bu fonksiyonun.

(2) $$f\left( \frac{\pi}{6} \right) < 0 \quad .$$ Yani bu fonksiyon sifirin altina iniyor bir defa. Demek ki tam olarak 2 tane koku olmak zorunda.

(3)  $$f\left( \frac{\pi}{6} \right) < 0 < f\left( \frac{\pi}{4} \right) \quad .$$

Demek ki bu koklerden bir tanesi $(\pi/6, \pi/4)$ araliginda. Digeri de $(0, \pi/6)$ araliginda. 

(4) Demek ki bu iki koke $x_1, x_2$ dersek  $$\frac{2\pi}{12} < x_1 + x_2 < \frac{5 \pi }{12}$$

Bu kadar oldu en fazla, daha fazla ne denebilir bilemiyorum.

---

Sevgili Sercan ve özgür 

Aynen temas ettiginiz yerlerde tikandim. Daha ilerisi nasıl olur fikrim olmadi. Soru da aynen yazdığım gibi bir üniversite hazırlık sorusu. Belki farklı bir yorum olur diye bekleyelim. İlginize teşekkürler. İyi dinlenmeler

---

$\sqrt2$ yerine $\sqrt3$  olsa çözülebiliyor sanki.

($\sqrt2$ yerine $\sqrt3$ yazarak) çözmeyi bir dener misin?

---

Dedginiz sekilde $$\sin(x+60^\circ)=\sin(4x)$$ geliyor. Yani cozum kolaycana gelir.

---

Sercan hocam doğrudur. Sorunun orijinal haline tekrar baktım yazdığım gibi basılmış. Yazım hatası olabilir. Tekrardan herkese teşekkürler