Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
1.6k kez görüntülendi

Diyelim ki elimizde gruplardan oluşan şu biçimde bir kısa net dizi (short exact sequence) olsun: 0AiGjH0Yani i birebir, j örten ve im(i)=ker(j)A grubumuzun değişmeli olduğunu varsayalım ve X kümesi de G içinde H için temsiciler kümesi olsun. Temsilciler kümesi demek H'deki her h için X içinde j(gh)=h eşitliğini sağlayan biricik bir gh elemanı mevcut demek. Bu aslında  f:HG biçiminde ve jf=idH()koşulunu sağlayan f fonksiyonu vermekle aynı şeydir. X verildiğinde fX (yani X yardımıyla tanımlanan () koşulunu sağlayan fonksiyon), hgh kuralıyla tanımlanır.

  1. f verildiğinde Xf nasıl tanımlanır?
  2. fXf ve XfX işlemlerinin birbirinin tersi olduğunu gösterin.
  3. Diğer her şeyden bağımsız olarak, yukarıdaki gibi kısa net bir dizi varsa G/HA olduğunu gösteriniz. Bu bakış açısıyla yukarıdaki gibi bir X kümesi almak demek G/H koset uzayı için temsilciler kümesi seçmek demek.
  4. f, yukarıdaki () koşulunu sağlayan bir fonksiyon olsun. Eğer f bir grup homomorfizmasıysa GAHgrup izomorfizmasının doğru olduğunu, aradaki izomorfizmayı açık biçimde yazarak ispatlayın.
  5. G veAH grupları izomorflarsa H'den G'ye () şartını sağlayan bir f homomorfizmasının varolduğunu ispatlayın.

Sorunun buraya kadar olan kısmı ikinci sınıf cebir dersi konularından ibaret. Şimdi bundan azıcık daha öteye gideceğiz. 

  1. A×X kümesinden G'ye tanımlanmış (a,x)ax fonksiyonunun birebir ve örten olduğunu gösterin.
  2. Bir önceki soruda ispatladığınız savın Türkçe söylenişinin şu olduğu konusunda kendinizi ikna edin: G'nin her elemanı A'dan ve X'ten birer elemanın çarpımına eşittir ve bu elemanlar biriciktir. gG elemanını bulmak için aldığımı aA ve xX elemanları değiştirirsek kesin olarak g'den başka bir eleman buluruz. (Bu soru formalizme aşina olmayan kişiler için. Soruyu anında yapamıyorsanız, bu soru sizin için demek, es geçmeyin.)

Şimdi G'nin elemanlarının ax (aA,xX) biçiminde ifade edilebildiğini gördük. Peki bu şekilde ifadelerini bildiğimiz g1,g2 elemanları alsak, g1g2 elemanının bu biçimde ifadesi hakkında ne söyleyebiliriz? İşte sorunun bundan sonraki kısmı, bu konu üzerine yoğunlaşıyor.

  1. A değişmeli grubunu i(A) ile özdeş görebiliriz, zira i birebir bir homomorfizma. Sorunun başında verilen dizinin net olduğunu kullanarak A'nın G'nin normal bir altgrubu olduğunu ispatlayın.
  2. A'nın normal olduğunu kullanarak her aA ve gX için ga=aggeşitliğini sağlayan biricik bir agA elemanının var olduğunu ispatlayın.
  3. Bir önceki kısmı kullanarak H grubunun A grubu üzerindeki etkisini şu şekilde tanımlayınız: Eğer hH ve aA ise h(a):=agholsun. Bu tanımla beraber A'nın bir H-modül yapısı kazandığını gösterin.
  4. A×H kümesi üzerinde bir çarpma tanımlayacağız. Kural şu: (a1,h1),(a2,h2)A×H için (a1,h1)(a2,h2):=(a1h1(a2),h1h2)Bu çarpmanın A×H kümesi üzerinde bir grup yapısı tarif ettiğini gösterin. 
  5. Bir önceki kısımda bulduğunuz grubun G grubuna izomorf olduğunu gösterin.


Bu durumda G grubu A ile H'nin yarı-direk çarpımına eşit denir ve bu durum GAHyazarak gösterilir. Bu tanım yeterince açık değil ama. Devamı için tıklayınız!
Lisans Matematik kategorisinde (3.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.6k kez görüntülendi

tık                                

Vaktim yok, yazamadım. Önce ikinci kohomoloji sousu yazmam gerek.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
G bir grup, H , K; G nin altgrupları olsun. Eğer gG için g=hk olacak şekilde hH ve kK var ve bu yazılış tek türlü (HK={1}) ve HG(normal) ise G ye H ve K altgruplarının yarı-direk çarpımı denir. Ve G=HK ile gösterilir.

1) Dn Dihedral grubu olmak üzere Dn=Z/nZZ/2Z şeklindedir.

2) Küpün otomorfizma grubu S3 simetrik grubu göstermek üzere; (Z/2Z)3S3 şeklindedir.

3) lboyutlu Öklid uzay Rl olmak üzere (Z/2Z)lSl Öklid yansıma grubudur.
(1.5k puan) tarafından 

Sorunun kendisine değil de başlığa verilmiş olmuş sanırım yanıt.

Evet Şafak, başlığa verdim yanıtı.  Sonra yukarıdaki 10 soruyu da cevaplayacağım. Bu arada soruların(homoloji) bitti mi?

Hayır, yalnızca zamanım yok bugünlerde. devam edeceğim.

Bu verdiğin üçüncü örnek hyper-octahedral grup olarak da biliniyor. S2n içinde (2i12i) biçimdeki bütün elemanların merkezleyeni olan grup.

Bilmezmiyim. Ne çektim ben bu gruplardan ve bunların genelleştirilmelerinden :)
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,620 kullanıcı