Diyelim ki elimizde gruplardan oluşan şu biçimde bir kısa net dizi (short exact sequence) olsun: 0⟶Ai⟶Gj⟶H⟶0Yani i birebir, j örten ve im(i)=ker(j). A grubumuzun değişmeli olduğunu varsayalım ve X kümesi de G içinde H için temsiciler kümesi olsun. Temsilciler kümesi demek H'deki her h için X içinde j(gh)=h eşitliğini sağlayan biricik bir gh elemanı mevcut demek. Bu aslında f:H⟶G biçiminde ve j∘f=idH(∗)koşulunu sağlayan f fonksiyonu vermekle aynı şeydir. X verildiğinde fX (yani X yardımıyla tanımlanan (∗) koşulunu sağlayan fonksiyon), h⟼gh kuralıyla tanımlanır.
-
f verildiğinde Xf nasıl tanımlanır?
-
f⟼Xf ve X⟼fX işlemlerinin birbirinin tersi olduğunu gösterin.
-
Diğer her şeyden bağımsız olarak, yukarıdaki gibi kısa net bir dizi varsa G/H≃A olduğunu gösteriniz. Bu bakış açısıyla yukarıdaki gibi bir X kümesi almak demek G/H koset uzayı için temsilciler kümesi seçmek demek.
-
f, yukarıdaki (∗) koşulunu sağlayan bir fonksiyon olsun. Eğer f bir grup homomorfizmasıysa G≃A⊕Hgrup izomorfizmasının doğru olduğunu, aradaki izomorfizmayı açık biçimde yazarak ispatlayın.
-
G veA⊕H grupları izomorflarsa H'den G'ye (∗) şartını sağlayan bir f homomorfizmasının varolduğunu ispatlayın.
Sorunun buraya kadar olan kısmı ikinci sınıf cebir dersi konularından ibaret. Şimdi bundan azıcık daha öteye gideceğiz.
-
A×X kümesinden G'ye tanımlanmış (a,x)⟼ax fonksiyonunun birebir ve örten olduğunu gösterin.
-
Bir önceki soruda ispatladığınız savın Türkçe söylenişinin şu olduğu konusunda kendinizi ikna edin: G'nin her elemanı A'dan ve X'ten birer elemanın çarpımına eşittir ve bu elemanlar biriciktir. g∈G elemanını bulmak için aldığımı a∈A ve x∈X elemanları değiştirirsek kesin olarak g'den başka bir eleman buluruz. (Bu soru formalizme aşina olmayan kişiler için. Soruyu anında yapamıyorsanız, bu soru sizin için demek, es geçmeyin.)
Şimdi G'nin elemanlarının ax (a∈A,x∈X) biçiminde ifade edilebildiğini gördük. Peki bu şekilde ifadelerini bildiğimiz g1,g2 elemanları alsak, g1⋅g2 elemanının bu biçimde ifadesi hakkında ne söyleyebiliriz? İşte sorunun bundan sonraki kısmı, bu konu üzerine yoğunlaşıyor.
-
A değişmeli grubunu i(A) ile özdeş görebiliriz, zira i birebir bir homomorfizma. Sorunun başında verilen dizinin net olduğunu kullanarak A'nın G'nin normal bir altgrubu olduğunu ispatlayın.
-
A'nın normal olduğunu kullanarak her a∈A ve g∈X için g⋅a=ag⋅geşitliğini sağlayan biricik bir ag∈A elemanının var olduğunu ispatlayın.
-
Bir önceki kısmı kullanarak H grubunun A grubu üzerindeki etkisini şu şekilde tanımlayınız: Eğer h∈H ve a∈A ise h(a):=agholsun. Bu tanımla beraber A'nın bir H-modül yapısı kazandığını gösterin.
-
A×H kümesi üzerinde bir çarpma tanımlayacağız. Kural şu: (a1,h1),(a2,h2)∈A×H için (a1,h1)⋅(a2,h2):=(a1h1(a2),h1h2)Bu çarpmanın A×H kümesi üzerinde bir grup yapısı tarif ettiğini gösterin.
-
Bir önceki kısımda bulduğunuz grubun G grubuna izomorf olduğunu gösterin.
Bu durumda G grubu A ile H'nin yarı-direk çarpımına eşit denir ve bu durum G≃A⋊Hyazarak gösterilir. Bu tanım yeterince açık değil ama. Devamı için tıklayınız!