Yari-direk carpim sorusu

Question

$S_{2n}$ icindeki $K_{2n}$ altgrubunu soyle tanimlayalim. Bir $\sigma$ permutasyonunun $K_{2n}$'in elemani olmasi icin gereken sart su. $\sigma$ tek sayilari tek sayilara cift sayilari da sift sayilara goturecek. Ya da tek sayilari cift sayilara cikf sayilari da tek sayilara goturecek. Yani $\sigma(i)-i$ sayisinin ikiye bolumunden kalan sayi $i$'den bagimsiz olacak. Bu altgrubu $S_n\times S_n$ ile $S_2$'nin yari-direk carpimi olarak yazin.

Comments

$S_4$ de $K_4=\{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ gibi mi?. Ancak $\sigma=(14)(23)\in K_4$ için $\sigma(1)-1=4-1=3$ ve $2$ ye bölümünden kalan $1$  ve $1$; $1$ e bağlı. yanlış mı anlıyorum kümeyi?

---

$\sigma(2)-2=1$, $\sigma(4)-4=-3$ ve $\sigma(3)-3=-1$. Hepsinin paritesi $1$. Demek ki $\sigma\in K_4$. Mesela $(13)$ de $K_4$'ün elemanı ama $(12)$ değil.

---

1) Bu altgrubun ($K_{2n}$) bir ismi var mı? 

2) $S_{2n+1}$ simetrik grubu içinde de böyle bir altgrup mevcut mu? 

---

$2n+1$ oldugunda grup otomatik olarak $S_{n}\times S_{n+1}$'a izomorf olur. Adini koyabiliriz Parite sabit permutasyonlar.

Answer 1

Aradığın grubun adı "hyperoctahedral" ve yarı-direkt çarpım olarak değil $S_n$ ve $S_2$'nın "wreath product"ı olarak yazılıyor. 

Comments

Hayır, bu hyperoctahedral group değil. Hyperpctahedral group için $S_n$ etkisis var $S_2^n$ üzerinde. Bundaysa $S_n^2$ üzerinde $S_2$ etkisi var. Bi de wreat product sonuçta yarı-direk çarpım. Wreat yerine ne yazacağımı bilmediğim için genel olarak yarı direk dedim.

---

O zaman şöyle diyebilir miyiz? Elimizde aslında $$\{\pm 1, \pm 2, \ldots, \pm n\}$$ kümesi var ve senin istediğin permutasyonlar $(\sigma,\delta^*)$ şeklinde öyle ki $\sigma,\delta\in S_n$ ve $\delta^*\in Aut(\{-1,\ldots,-n\})$ her $-i\in \{-1,\ldots,-n\}$ için $$\delta^*(-i) = -\delta(i)$$ şeklinde tanımlanmış olsun. Bu grup üzerindeki $S_2$ etkisi de $$(\sigma,\delta^*)^* = (\delta,\sigma^*)$$ biçimindedir. O zaman senin aradığın grup $$(S_n\times S_n)\rtimes S_2$$ şeklinde verilebilir.

---

Aynen oyle. Oyle oldugunu da biliyorum zaten. Bu sonsuz Gelfand ailesi veren gruplardan bir tanesi $S_{2n}$ icinde. Wreat carpimi simetrik grup icinde hyperoctahedral ve bu grupta oldugu gibi gormek wreat carpimin anlasilmasini cok kolaylastiriyor. O yuzden sormustum soruyu gencler icin :)