Tümevarım: $(1-x)^n \leq 1-nx+ \frac{n(n-1)}{2}x^2$

Question

Matematik Dünyası dergisinde gördüğüm bir soru

$0 \leq x \leq 1$ bir gerçel sayı  ve $n\ge 1$ bir tam sayı  olmak üzere  $$(1-x)^n \leq 1-nx+ \frac{n(n-1)}{2}x^2$$ olduğunu $n$ ile tümevarım kullanarak kanıtlayınız.

Binom kullanarak açtım ama yapamadım bir türlü. (k+1). adım ve k. adım arasındaki bağlantıyı bulamadım.

Comments

Merhaba, Matkafasi'na hoş geldin. Sitede soru sorarken dikkat edilmesi gereken pek çok kural var. Bunlardan en önemlilerinden birisi, soru soran kişinin yazdığı soru hakkında kendi denemelerini ve düşündüklerini yazması kuralı. Bu kuralın pek çok nedeni var. Bu konuda lütfen şuradaki yorumu okuyunuz. Genel kurallar hakkında da lütfen şuraya bakınız.

Kısacası: Neler düşündüğünüzü ve neleri denediğinizi yazmanızı istiyoruz.

Önemli anımsatma: Genel olarak kurallara uygun sorulmuş sorular yanıt bulmakta.

---

$(1-x)^{n+1}=(1-x)^n(1-x)$ oldugunu kullandiniz mi? Tam olarak neresinde takildiginizi soylerseniz o kisma bakabiliriz.

---

Hocam $(1-x)^n$'i   $1-nx + n(n-1)/2 \times x^2 ...+(-x)^n$ şeklnde açtım. Soldaki terimlerle eşitsizliğin diğer tarafı sadeleşti $\leq 0$ oldu. sonra (n+1). adımı aynı şekilde açtım ama (n+1). adımın içinde n. adımı bulamadım. Dediğiniz şeyi de denedim bir şey göremedim :(

---

Tumevarim ile ispat yapacaksin degil mi?

(1) $n=1$ icin bunu gostereceksin.

(2) $n\ge 1$ tam sayisi icin dogru oldugunu kabul edip $n+1$ icin dogru oldugunu gostereceksin.

---

(1)i gostermek kolay.

(2)yi gostermek icin $(1-x)^n \le 1-nx+\dfrac{n(n-1)}{2}x^2$ oldugunu kabul edip $$(1-x)^{n+1} \le 1-(n+1)x+\dfrac{(n+1)n}{2}x^2$$ oldugunu gostermelisin.

$$(1-x)^{n+1}=(1-x)^n(1-x) \le  \left(1-nx+\dfrac{n(n-1)}{2}x^2\right)\cdot (1-x)$$ gelir. 

Bu esitsizligi elde etmek icin hem tumevarim kabulunu kullandik, hem de $1-x \ge 0$ oldugunu kullandik.

Bu ifadeyi acarak ve $x \ge 0$ oldugunu kullanarak sonucu bulabilirsin.

---

 

$(1-x)^{n+1} \leq 1-(n+1)x + \dfrac{n(n+1)}{2}x^2 - \dfrac{nx^3(n-1)}{2}$

sondaki ifade  0'dan büyük olduğundan doğru mu kabul ediyoruz?

---

(1-n) degil de (n-1) olmali son ifadede.

$a,b\ge 0$ ise $a-b\le a$  saglanir degil mi?