Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
24k kez görüntülendi

Şimdi $1^2+2^2+3^2+....19^2 = ?$ bulmak için $\frac{n.(n+1).(2n+1)}{6} $formülü var biliyorum.Ben burada formülsüz bulmak istedim.Bu ifadeyi

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$

$x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy $

şeklinde düşünerek:

$1^2+2^2+3^2+....19^2 = (1+2+3+....+19)^2-2((1+2)+(1+3)+(1+4)+........+(18+19))$

şeklinde düznledim.

Burada $-2((1+2)+(1+3)+(1+4)+........+(18+19))$

ifadesini bulmak için $A=\{1,2,3,4,.....,19\}$ kümesinin iki elemanlı altkümelerinin 

elemanları toplamı kaçtır şeklinde düşündüm.

Buradan (bu kısımdan emin değilim) her sayı toplamda 18 kere olacağından yani

$(1,2),(1,3),(1,4),....(1,19) ->$ 18  tane 1 var

$(2,1),(2,3),(2,4),....(2,19)->$  18 tane 2 var

$(3,1),(3,2),(3,4),....(3,19)->$  18 tane 3 var

$.$
$.$
$.$
$(19,1),(19,2),(19,4),....(19,18)->$  18 tane 19 var

buradan $((1+2)+(1+3)+(1+4)+........+(18+19))  = 18.(1+2+3+....+19)$ buldum.
Yani sonuç olarak

$\sum_{i=1}^{19} i^2 = (\sum_{i=1}^{19} i)^2-2(18(\sum_{i=1}^{19} i))$

$(\sum_{i=1}^{19} i )^2= (\frac{19.20}{2})^2 = 190^2 = 36100 $       $ (\frac{n.(n+1)}{2}) $Gauss Formülü

$-2(18(\sum_{i=1}^{19} i)) = -6840$

İşlemleri yerleştirirsek :

$\sum_{i=1}^{19} i^2 = 36100 - 6840 = 29260 $

Olur fakat formülü kullanırsak
$\frac{n.(n+1).(2n+1)}{6} = \frac{19.20.39}{6} = 2470 $ çıkar.

Hatam nerede bilmiyorum.Formülün ispatınıda bulamadım .
Eğer biliyorsanız yazar mısınız?Ve hatamı bulursanız söyleyebilir misiniz?




\sum_{i=0}^n i^2 m_{i=0}^n i^2
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (77 puan) tarafından  | 24k kez görüntülendi

Kareler toplami icin yazdiginix esitlik dogru degil. Ornegin $1^2+2^2+3^2$  icin deneyin.

$1^2+2^2+3^2+...+19^2 = (1+2+3+....+19)^2-2((1+2)+(1+3)+(1+4)+...+(18+19))$

doğru değil

$1^2+2^2+3^2+...+19^2 = (1+2+3+....+19)^2-2((1\times2)+(1\times3)+(1\times4)+...+(18\times19))$

olur.

Kanıtını Bernoulli yapıyor bu tarz serileri tamamını tek bir formüle bağlı bulabiliyoruz, sanırım Teleskopik seri olarak geçiyor. Bulamazsan gayet bariz bir kanıtını yazarım

Kanıtınız  cevapta verilenden farklı ise (baktıysanız cevapta da Bernoulli geçiyor) paylaşmanızda fayda var.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Yanit icin Bakiniz

(2.8k puan) tarafından 

Geometrik bir yol bulmaya calistim ama beceremedim.

Çok sevdiğim geometrik bir çözümü var bunun. Bir ara paylaşırım. 

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Merhaba , benim adım Polat , bence 6.satırda bir hata var . Kanımca , eşitlik şöyle olmalı :

Sorunun her ilk iki bileşeni kendi aralarında toplanırsa , mesela 1^2 + 2^2 şeklinde .

Nihai olarak , ( 1 + 2  )^ 2 - 2 . ( 1 . 2 )

                                  +

                    ( 3 + 4 ) ^ 2 - 2 . ( 3 . 4 )

                                  +

                    ( 5 + 6 ) ^ 2 - 2 . ( 5 . 6 )

                                   +

                                ........

                                   +

                  ( 18 + 19 ) ^ 2 - 2 . ( 18 . 19 )



Şeklinde olmalı , yani özetle 6 .satırda sağ ve sol ifadeler birbiri ile eşleşmiyor .

İyi günler 
(15 puan) tarafından 
20,239 soru
21,758 cevap
73,398 yorum
2,059,635 kullanıcı