Question

12 Basamaklı bir merdivene 1 veya 3'er basamak atlayarak kaç değişik şekilde tırmanılabilir?

Şimdi ben burada bunu "1 veya 3 sayıları toplanarak kaç farklı şekilde 12 elde edilir ? " şeklinde düşündüm.Pek bi fikrim yok ,bir iki şey yaptım onlarda mantıksız oldu.

Comments

Önce $1$ basamaklı bir merdiven için düşünün, sonra $2$, sonra $3$. Bir süre sonra genelleme gelecek. $n$ basamaklı bir merdiven için sayma bağıntımız $a_n$ olsun. $$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$$ gibi bir dizi gelecek. (Belki bu çıkar hatta) 

Answer 1

Merhabalar. Benim biraz daha farklı bir yaklaşımım var.

Bu merdiven çıkılırken; bir basamaklı adım sayısı:$x$, üç basamaklı adım sayısı :$y$ olsun. Dolayısıyla $x.1+y.3=12\Rightarrow x=12-3y$ dir. Ayrıca da $0\leq x\leq 12, 0\leq y \leq 4$ olduğunu unutmamalıyız.

O halde tüm durumlar toplamı :$\sum_{y=0}^{4}\frac{(12-2y)!}{(12-3y)!.y!}$ dır. 

Bu soru için sanıyorum güzel bir genelleme yapılabilir.

$N$ basamak sayısı, $a$ ve $b$ bir seferde atılan adımdaki basamak sayısı olmak üzere

bu $N$ basamaklı merdiven $a$ veya $ b$ basamak çıkılarak kaç farklı biçimde çıkılabilir gibi. Hatta basamak sayıları $a,b,c,...$ şeklinde çeşitlendirilebilir.

O zaman gerçekten çok güzel bir soru olur. Bakalım buna nasıl bakılacak?

Comments

Bu Deniz'in ikinci cozumu sanki?

---

neden payda  (12-2y)! var  orayı anlamadım

Answer 2

$n$ basamaklı bir merdiveni, 1 veya 3'er basamak atlayarak $a_n$ değişik şekilde tırmanalım, $a_1=1,a_2=1,a_3=2,a_4=3,a_5=4$ olduğu kolayca gözlemlenebilir. $n$ basamaklı bir merdiveni tırmanmaya önce 1 basamak atlayarak başlarsak $a_{n-1}$ sayma işlemi yaparız, önce 3 basamak atlayarak başlarsak $a_{n-3}$ sayma işlemi yaparız. O halde: $$a_n=a_{n-1}+a_{n-3}$$ gibi bir genel kural bulduk. (Bunun karakteristiği üçüncü dereceden bir denklem) $$1,1,2,3,4,6,9,13,19,28,41,\color{red}{60},88,\cdots$$

Answer 3

Daha hantal bir çözüm önerisi olarak, $$(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)\rightarrow 1 \text{ tane }\\ (3,1,1,1,1,1,1,1,1,1)\rightarrow 10 \text{ tane }\\ (3,3,1,1,1,1,1,1)\rightarrow 28 \text{ tane }\\ (3,3,3,1,1,1)\rightarrow 20 \text{ tane }\\(3,3,3,3)\rightarrow 1 \text{ tane }$$ toplamda $28+1+1+20+10=60$ tane sıralama var. Hesapları yaparken tekrarlı permütasyon kullandık $\dfrac{8!}{2!\cdot6!}$ gibi...