Her $x\in\mathbb{R}$ için $|\sin x|\leq |x|$ olduğunu gösteriniz.

Question

Ortalama Değer Teoremi'ni kullanmadan kanıtlayınız.

Answer 1

$\sin$ tek bir fonksiyon oldugundan bunu negatif olmayanlar icin gostermek yeterli. Hatta degeri her zaman $1$ ile ustten sinirli oldugundan ve sifir noktasinda da esitlik hali hazirda saglandigindan $(0,1)$ araligi icin gostermek yeterli. 

Trigonometrik manalarini kullanmak yeterli. Trigonometrik olarak $(0,1)$ araligi uzerinde $$\sin \theta \le \sqrt{\sin^2\theta+(1-\cos \theta)^2} \le \theta$$ sekilden de goruldugu uzere saglanir.

Comments

Küçük bir ek (açıklama):

Yazıdaki $x$ şekildeki $\theta$ oluyor. (ve $\theta$ radyan cinsinden olduğunda, son eşitsizlik, çember yayının kirişten uzun olmasından geliyor)

---

Evet, bir yazi-resim uymazligi olmus.

Answer 2

$y=|\sin(x)|$ ve $y=|x|$ çift fonksiyon olduklarından $x \geq 0 $ için $|\sin (x)| \leq x$ olduğunu ispatlamak yeterlidir. $[0,\pi]$ aralığında $y=\sin(x) $ konkav fonksiyondur, çünkü $y'' = -\sin(x) \leq 0 $ olmaktadır. Bu ise, aynı aralıkta $y=\sin(x) $ eğrisinin teğetlerinin, eğrinin üstünde kalacağı anlamına gelir. $x=0$ daki (sağdan) teğeti çizelim. Bu ışının başlangıç noktası orijin olup $y=x$ doğrusunun birinci bölgede kalan kısmından oluşmaktadır. Yani $0 \leq x \leq \pi $ aralığındaki değerler için eşitsizlik doğrudur. $x\geq \pi $ için $y=|\sin(x)|$ eğrisi $[0,1]$ aralığında salınım yaparken $y=x$ sonsuza doğru kopup gider. Bu halde eşitsizliğin sağlanacağı açıktır.