Bir $n$ pozitif tamsayısı için $2n+1$ ve $3n+1$ tamkare ise $40\mid n$ olduğunu gösteriniz.

Question

$n$ bir pozitif tamsayı olsun. $2n+1$ ve $3n+1$ tamkare ise $40\mid n$ olduğunu ispatlayınız. (Ben bölme algoritması ve çarpanlara ayırmadan faydalandım, farklı bir çözümü varsa merak ediyorum) 

Comments

$2n+1=(2k+1)^2$  ve $n=2k(k+1)$ . Buradan n çift ve 4 e bölünür.

$3n+1=(3k\pm1)^2$ ve $n=3k^2\pm2k$ ve $k$ burdan çift  Demek ki $8 \mid n$ 

$3x^2 - 2y^2 = 1$ dersek ve mod $5$ incelersek $x,y=5k\pm1$

$2n+1=25k^2\pm10k+1$ ve $5\mid n$. Sonuç $40 \mid n$

Daha güçlü silahlar kullansak daha havalı çözüm gelir mi :)

---

Ben gereksiz uzatmışım valla teşekkür ederim. O güçlü silahları ben de öğreneceğim inş:)

---

Jacobi sembolü falan denedim de, kafam dağınık üniversite sınavı yüzünden yoğunlaşamıyorum. Üniversitede devam ederim bende artık.

---

Bu sayilarin carpimi  $6n^2+5n+1$ sayisi tam kare olacagindan bunu saglayan $n$   tam sayilarini bulmayi deneyebiliriz.

---

Kendileri kare olmasa da carpim kare olabilir. 

Soru ilginc. 40 sagliyor hatta. Peki saglayan kac tane vardir? 

Genel olarak $an+b$ ve $cn+d$ olarak yazip bir iliski elde etmek mumkun mudur acaba? ve bu iliski iyi bir iliski midir? Her turlu $1\mid n$ olacagi garanti. Dandik olmayan bir iliski.