Düzlemde Vektör Uygulamaları

Question

$\text{Üniversite sınavına hazırlananlar ve meraklısı için bir kaç not}$

$\text{Köşegen vektörleri}$  $\vec{P}=(x_1,y_1)$ $\text{ve}$   $\vec{Q}=(x_2,y_2)$

$\text{olan konveks dörtgenin alanı}$ 

$\dfrac{\mid{x_2.y_1-y_2.x_1}\mid}{2}$    $\text{ile hesaplanabilir.}$ 

$\text{Dolayısıyla analitik düzlemde dört köşesinin koordinatları verilen konveks dörtgenin,köşegen vektörleri yazılıp alanı hesaplanabilir.}$

$\text{Eğer söz konusu }$  $\vec{P}=(x_1,y_1)$ $\text{ve}$   $\vec{Q}=(x_2,y_2)$  $\text{vektörleri bir paralelkenarın ardışık iki kenarı iseler;}$

$\text{Paralelkenarın alanı}$   $\mid{x_2.y_1-y_2.x_1}\mid$ $\text{ile hesaplanabilir}$

$\text{Buradan yola çıkarak paralelkenarın köşegeni çizilince  alan olarak eşit iki üçgen oluşacağından köşe koordinatları verilen bir üçgenin alanını rahatlıkla hesaplayabiliriz.}$

$\text{Örneğin:}$ $\text{Köşelerinin koordinatları A(3,2)  B(-1,4)  ve C(2,3) olan üçgensel bölgenin alanını hesaplayalım;}$

 $\vec{AB}=(-4,2)$  $\rightarrow\vec{P}$ $\text{gibi düşün}$  

$\vec{AC}=(3,-1)$   $\rightarrow\vec{Q}$ $\text{gibi düşün}$ 

$\text{alan paralelkenar=}$$\mid{3.2-((-4).(-1))}\mid=2$

$\text{Alan (ABC)}=$$\dfrac{2}{2}=1$

$\text{Antrenman olarak;}$

$\text{Bir ABCD dörtgensel bölgesinin ardışık üç kenarının orta noktaları E,F ve K dır.}$

$\vec{EK}=(2,-4)$  ve $\vec{EF}=(6,3)$ $\text{ ise ABCD dörtgensel bölgesinin alanını hesaplayınız.}$

Kolay gelsin

Comments

Engin Hocam tesekkurler. Bahsettikleriniz konveks ve konkav dortgenler icin gecerli mi?

---

Selam

Konveks tüm dörtgenler için geçerli alper hocam,ekleme yaptım.

Kolay gelsin

---

Selam Engin Hocam. Kosegen vektorlerle alan bulmaya alternatif olarak ucgenin alani icin verilen determinant formundaki alan formulu dortgenlere de uygulanabilir. Hatta konveks veya konkav bir n -genin alanini da bulabiliriz. Bakınız

---

Alper hocam doğrudur.Yalnız biliyorsunuz lise müfredatında ve  üniversiteye hazırlıkta matris determinant vb. artık anlatılmıyor. Hatta sarrus alan hesabı bile yok. yukarıda bahsettiğim tamamen buna yönelik bir pratik alternatif olarak algılanmalı.İlk satırda meraklısına demiştik iyi bir meraklı olarak doğru yorum yaptınız :-))

Ama dediğiniz gibi kullanım alanı çok geniş.İlginize teşekkür ederim

Kolay gelsin.

---

Pragmatik olarak haklisiniz., mufredat belki ogrenciyi sinirlayabilir ama biz matkafasi sakinlerini sinirlamamali gidebildigimiz kadar ilerlemeliyiz. Mesela bunlar neden dogru, nasil kanitlariz, genelleme yapabilir miyiz vs. bizim isimiz olmali.

---

Hocam zaten amaç o.

Sizin yaklaşiminiz  gibi yolu bu sayfaya düşecek arkadaşlardan bu ve benzeri yorumlar gelmesi. Benim dediğim sadece bu müfredat için kullanılabileceği gerisini zaten yorum yapacak arkadaşlar dan bekliyoruz.

İlginize teşekkürler tekrar 

Selamlar

---

Engin hocam selamlar. Verdiğiniz eşitliğin bir kanıtı varsa ekleyebilir misiniz? Teşekkürler.

---

Alper hocam 

Bunlar eski notlarımın arasından çıktı üstünde 1999 tarih yazıyor, kanıtını ararım bir yerlerde vardır. 

Selamlar

---

Alper hocam eski notlarda daha bulamadım.Hastane nöbetinde aşağıya hatırladığım kadarıyla yazdım.Notlarımın arasından tam ispat çıkınca eklerim.

Selamlar

$R^3$ $\text{te}$ $\vec{P}=(x_1,y_1,z_1)$ ve  $\vec{Q}=(x_2,y_2,z_2)$ $\text{vektörlerinin üzerine kurulu paralelkenarın alanı}$ 

$\begin{vmatrix}\vec{P}&X&\vec{Q}\end{vmatrix}$  $\left(\text{vektörel çarpım vektörünün boyu}\right)\text{ile hesaplanır.}$

Bunun ispatı için ise;

$\begin{vmatrix}\vec{P}&X&\vec{Q}\end{vmatrix}=\mid\vec{P}\mid.\mid\vec{Q}\mid.\text{sin}\alpha$

kullanılabilir.

$R^3$ $\text{te xoy düzlemindeki}$ $\vec{P}=(x_1,y_1,0)$ ve  $\vec{Q}=(x_2,y_2,0)$ $\text{vektörlerini alalım.}$ $\vec{i}$ $\vec{j}$ $\vec{k}$ $\text{ standart taban vektörler olmak üzere}$

$\vec{P}$X$\vec{Q}$=$\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x_1&y_1&0\\x_2&y_2&0\end{vmatrix}\text{=}(0,0,\vec{k}.(x_1.y_2-y_1.x_2))$  $\text{vektörel çarpım vektörüdür}$

$\text{bu vektörün boyu}$ 

$\begin{vmatrix}\vec{P}&X&\vec{Q}\end{vmatrix}=\sqrt{0^2+0^2+(\vec{k}.(x_1.y_2-y_1.x_2))^2}$

$\begin{vmatrix}\vec{P}&X&\vec{Q}\end{vmatrix}=\mid\vec{k}.(x_1.y_2-y_1.x_2)\mid$

$\vec{k}=(0,0,1)\text{olduğundan}$

$\begin{vmatrix}\vec{P}&X&\vec{Q}\end{vmatrix}=\mid{x_1.y_2-y_1.x_2\mid}$

---

Teşekkürler Engin Hocam. Konveks dörtgenimiz paralelkenar iken köşegenlerin vektörel çarpımının boyunun yarısının dörtgenin alanını verdiğini görmek kolay; yapmamız gereken köşegenleri uç uca ekleyip oluşan paralelkenarı görmek. Fakat herhangi bir konveks dörtgende bu geometrik yorumu yapamadım. Şu an yoğun olduğum için yeterince de düşünemiyorum. Acaba köşegenleri verilen bir dörtgeni alanını değiştirmeden paralelkenara çeviren bir dönüşüm mü düşünmeliyiz bilemedim. 

---

Alper hocam selamlar.

Aynen bugünlerde  ben de çok yoğunum  hocam(ameliyat olan bir yakınımız var onunla ilgileniyorum).Yeterince notlarımı inceleyemedim.Fakat'' Acaba köşegenleri verilen bir dörtgeni alanını değiştirmeden paralelkenara çeviren bir dönüşüm mü düşünmeliyiz bilemedim. '' düşünceniz akla pek yatkın görünüyor.

Tabii $R^3\text{te}$ herhangi  iki vektör'ün vektörel çarpımı  bu iki vektöre dik bir vektör olduğundan bu vektörün boyunun yarısının alana eşit olduğunu göstermek te yeterli gibi görünüyor.

Yukarıda yazdığım kanıt  bu temel üzerine kurulu hocam.

Süreci atlatınca daha sağlıklı bir yorum yapabileceğiz sanırım.Diğer arkadaşların da yorumlarını da bekleyebiliriz.

Bunlar çok eski notlarım ve de çoğu daha tasnifsiz olduğundan böyle oldu.

İlginize ve yorumlarınıza teşekkürler.

---

Gecmis olsun Hocam. Dusunelim insaallah.

---

Istedigimi geometrik olarak goremezesem de kosegenlerin kesisimi olusan 4 ucgene sinuslu alan formulunu uygulayarak formulun dogrulugunu gordum. Aslinda yapilan $(1/2)e.f.\sin\alpha$ alan formulunu 

vektorlere uygulamak.

---

Alper hocam 

$\text{ köşegen vektörleri}$  $\vec{p}$ ve $\vec{q}$ $\text{olan konveks dörtgenin alanı:}$

$\text{A=}$$\dfrac{1}{2}.\begin{vmatrix}\vec{p}\end{vmatrix}.\begin{vmatrix}\vec{q}\end{vmatrix}.\text{sin}\alpha$ 

$\vec{p}$ ve $\vec{q}$ $\text{vektörlerinin iç çarpımı}$ 

$\vec{p}.\vec{q}=\begin{vmatrix}\vec{p}\end{vmatrix}.\begin{vmatrix}\vec{q}\end{vmatrix}.\text{cos}\alpha$   idi.

Buradan $\text{cos}\alpha=\dfrac{\vec{p}.\vec{q}}{\begin{vmatrix}\vec{p}\end{vmatrix}.\begin{vmatrix}\vec{q}\end{vmatrix}}\Rightarrow$ $\text{sin}^2\alpha=1-\dfrac{\left(\vec{p}.\vec{q}\right)^2}{\begin{vmatrix}\vec{p}\end{vmatrix}^2.\begin{vmatrix}\vec{q}\end{vmatrix}^2}$

şimdi,

$\text{A}^2=$$\dfrac{1}{4}.\begin{vmatrix}\vec{p}\end{vmatrix}^2.\begin{vmatrix}\vec{q}\end{vmatrix}^2.\left(1-\dfrac{\left(\vec{p}.\vec{q}\right)^2}{\begin{vmatrix}\vec{p}\end{vmatrix}^2.\begin{vmatrix}\vec{q}\end{vmatrix}^2}\right)$

$\text{A}^2=\dfrac{1}{4}.\left(\begin{vmatrix}\vec{p}\end{vmatrix}^2.\begin{vmatrix}\vec{q}\end{vmatrix}^2-\left(\vec{p}.\vec{q}\right)^2\right)$

$\vec{p}$ $\text{ve}$ $\vec{q}$ $\text{vektörlerinin bileşenlerini yazıp }$

$\left(\vec{p}.\vec{q}=x_1.x_2+y_1.y_2\text{idi}\right)$

$\text{A}^2=\dfrac{1}{4}.\left[\left(x_1.y_2\right)^2+\left(y_1.x_2\right)^2-2.\left(x_1.x_2.y_1.y_2\right)\right]$  $\text{olduğunu görürüz.}$

yukarıdaki mesajda

$\begin{vmatrix}\vec{p}&X&\vec{q}\end{vmatrix}=\mid{x_1.y_2-y_1.x_2\mid}$

$\text{olduğunu göstermiştik.karesini alalım}$

$\left(\begin{vmatrix}\vec{p}&X&\vec{q}\end{vmatrix}\right)^2=\left(x_1.y_2\right)^2+\left(y_1.x_2\right)^2-2.\left(x_1.x_2.y_1.y_2\right)$

$\text{olduğundan}$

$\text{A}=\dfrac{1}{2}.\begin{vmatrix}\vec{p}&X&\vec{q}\end{vmatrix}$