$\sin^2x+6\sin x\cos x+\cos^2x=3$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığında kaç kökü vardır?

Question


$\sin^2x + 6\sin x\cos x + \cos^2x = 3$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığında kaç farklı kökü vardır? Cevap 4

Benim denediğim yöntemler: İki tarafı da sin^2x veya cos^2x ile bölmek.

Comments

$\sin^2x+\cos^2x=1$ ve $2\sin x\cos x=\sin 2x$ yazabilirsin.

---

Sin2x=2/3 sonucuna ulaştım fakat bunu 2kπ şeklinde yazmam gerekiyor. Daha sonra da kaç kök olabileceğini bulmam lazım. Örneğin x=α+2kπ gibi.

---

Su sorunun cevabini verebilir misin? $-1<a<1$ olmak uzere $$\sin x=a$$ esitligini saglayan $[0,2\pi)$ arasinda kac $x$ degeri vardir? Buradan $\sin 2x=a$ icin kac tane vardir'i sorup cevabi bulabilirsin.

---

Sinx olarak bakarsam 4 tane kök buluyorum sizin sorunuzda. Ama sin2x'te bi fikrim yok. 

---

$y=\sin2x-2/3$  fonksiyonu için $[0,2\pi)$ aralığında tablo yapmayı deneyebilirsin. Bu aralıkta $0,\pi/4,\pi/2,3\pi/4,\pi,5\pi/4,3\pi/2,7\pi/4,2\pi$  özel değerler için fonksiyonun aldığı değerleri hesaplayın. İşaretin değiştiği aralıkta kök olması gerekir.

---

Üzgünüm ama o değerleri sin2x e yazınca sin'den kurtaramıyorum 

---

Birim cemberden geliyor direkt. -1 ile 1 arasinda (dahil degiller) goruntu degeri ayni olan sadece iki deger vardir. 

$\sin x$ olarak bakinca iki tane bulmalisiniz.

---

Peki sin2x te 4 kök olduğunu nereden anlayabilirim?

---

Sercan'nın dediği daha basit. Fakat dediğimi açıklayım. Örneğin  $x=\pi/4$  aldığınızda $f(x)=\sin2\pi/4-2/3=\sin\pi/2-2/3=1-2/3=1/3$  bulunur. Yani özel açılar aldığınızdan sinüsten kurtuluyorsunuz.

---

Tamam ama aralığa + veya - koyacağımı nasıl anlayacağım?

---

Mesela $x=0$  için $f(x)=-2/3<0$   ,  $x=\pi/4$  için  $f(x)=1/3>0$ olduğundan fonksiyon bu aralıkta $x$  ekseninin altından üst tarafına geçmek zorundadır yani ekseni kesmelidir. Yani bu noktada kök mevcuttur. Bu şekilde devam ederek işaret değişen aralıkları saymalısınız.

---

Çok teşekkürler 4 tane kök buldum.

---

Siz Sercan hoca gibi dusunun bu sorularda daha pratik. Benim bahsettigim genel bir yontem. sinx icinde sin2x in iki kopyasi oldugundan 4 kok geliyor. İkisini de cizerseniz daha iyi anlarsiniz.

---

3 yerine 3(sin^2x+cos^2x )yazarak da sonuca ulaşılabilir