$F_n=a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$F_n$ asal olduğundan 2 mümkün durum var.
ya $a-b=1$,$a^2+ab+b^2=F_n$ ya da $a-b=F_n$,$a^2+ab+b^2=1$
$(i)$ $a-b=1$,$a^2+ab+b^2=F_n$ ise
$a=b+1$,$F_n=a^3-b^3=3b^2+3b+1$
$\Rightarrow 2^{2^{n}}+1=3(b^2+b)+1$
$\Rightarrow 2^{2^{n}}=3(b^2+b)$
$\Rightarrow 3|2^{2^{n}}$ ama bu mümkün değil.
$(ii)$ $a-b=F_n$,$a^2+ab+b^2=1$ ise
$F_n=a-b \Rightarrow 2^{2^{n}}+1=a-b \Rightarrow (2^{2^{n}}+1)^2=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=1-3ab $
$ \Rightarrow 2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}+1}+1=1-3ab$
$ \Rightarrow 2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}+1}=-3ab$
$ \Rightarrow 3|2^{2^{n}}(2^{2^{n}}+2)$ ama bu mümkün değil.
O halde küp farkı olarak yazılamaz.