Herhangi bir Fermat asalının iki karenin farkı olarak yazılabileceğini ancak iki küpün farkı olarak yazılamayacağını gösteriniz.

Question

Fermat Sayılarının tipi $F_n=2^{2^n}+1$ şeklindedir.

Ben kare farkını hallettim.

$F_n=2^{2^n}+1=(2^{2^n-1}+1)^2-(2^{2^n-1})^2$

küp farkının yazılamayacağı konusunda yardım istiyorum.

Answer 1

Soruna sorularla karsilik verecegim. Ama "neden" kisimlarini gormezden gelirsen cevap niteligi tasidigi icin cevap olarak yaziyorum.

1. $p$ asal, $a,b$ pozitif tam sayi ve $n > 1$ olmak uzere eger $$p = a^n - b^n$$ ise $a$ ve $b$ ardisik tam sayilardir. Neden?
2. Eger $q$ asal sayi ise her $x,y$ tam sayisi icin  $$(x+y)^q = x^q + y^q \mod q$$  olur. Ayni sekilde  $$(x-y)^q = x^q - y^q \mod q$$ olur. Neden?
3. 2'yi kullanarak her $q$ asali icin  $$(x+1)^q - x^q = 1 \mod q$$ oldugunu gorebiliriz.
4. Eger $F_n$ bir Fermat asaliysa $$F_n \neq 1 \mod 3$$ olur. Neden?

Comments

1. neden için cevabım var $1.p=(a-b)(a^{n-1}+...+b^{n-1})$ burdan $a-b=1$ olacak şekilde gelecek.

2. neden için cevabım freshman's dream.

4.neden için cevabım ''any prime divisor p of the Fermat number $F_n=2^{2^{n+1}}+1$, where $n \geq 2$, is of the form $p=k2^{n+2}+1$.'' ile söyleyebilirim heralde.. 

---

4. neden için $2 = -1 \mod 3$ olduğunu kullanmak daha basit, sanıyorum.

---

haklısın hocam :)

Answer 2

$F_n=a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$F_n$ asal olduğundan 2 mümkün durum var.

ya $a-b=1$,$a^2+ab+b^2=F_n$ ya da $a-b=F_n$,$a^2+ab+b^2=1$

$(i)$ $a-b=1$,$a^2+ab+b^2=F_n$ ise

$a=b+1$,$F_n=a^3-b^3=3b^2+3b+1$

           $\Rightarrow 2^{2^{n}}+1=3(b^2+b)+1$

           $\Rightarrow 2^{2^{n}}=3(b^2+b)$

           $\Rightarrow 3|2^{2^{n}}$  ama bu mümkün değil.

$(ii)$ $a-b=F_n$,$a^2+ab+b^2=1$ ise

$F_n=a-b \Rightarrow 2^{2^{n}}+1=a-b \Rightarrow (2^{2^{n}}+1)^2=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=1-3ab$

             $\Rightarrow 2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}+1}+1=1-3ab$

             $\Rightarrow 2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}+1}=-3ab$

               $\Rightarrow 3|2^{2^{n}}(2^{2^{n}}+2)$  ama bu mümkün değil.

O halde küp farkı olarak yazılamaz.