Processing math: 22%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.7k kez görüntülendi

Fermat Sayılarının tipi Fn=22n+1 şeklindedir.

Ben kare farkını hallettim.

Fn=22n+1=(22n1+1)2(22n1)2

küp farkının yazılamayacağı konusunda yardım istiyorum.

Lisans Matematik kategorisinde (1k puan) tarafından  | 1.7k kez görüntülendi

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Soruna sorularla karsilik verecegim. Ama "neden" kisimlarini gormezden gelirsen cevap niteligi tasidigi icin cevap olarak yaziyorum.

  1. p asal, a,b pozitif tam sayi ve n>1 olmak uzere eger p=anbn ise a ve b ardisik tam sayilardir. Neden?
  2. Eger q asal sayi ise her x,y tam sayisi icin (x+y)^q = x^q + y^q \mod q olur. Ayni sekilde (x-y)^q = x^q - y^q \mod q olur. Neden?
  3. 2'yi kullanarak her q asali icin (x+1)^q - x^q = 1 \mod q oldugunu gorebiliriz.
  4. Eger F_n bir Fermat asaliysa F_n \neq 1 \mod 3 olur. Neden?
(2.5k puan) tarafından 

1. neden için cevabım var 1.p=(a-b)(a^{n-1}+...+b^{n-1}) burdan a-b=1 olacak şekilde gelecek.

2. neden için cevabım freshman's dream.

4.neden için cevabım ''any prime divisor p of the Fermat number F_n=2^{2^{n+1}}+1, where n \geq 2, is of the form p=k2^{n+2}+1.'' ile söyleyebilirim heralde.. 


4. neden için 2 = -1 \mod 3 olduğunu kullanmak daha basit, sanıyorum.

haklısın hocam :)

0 beğenilme 0 beğenilmeme
F_n=a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

F_n asal olduğundan 2 mümkün durum var.

ya a-b=1,a^2+ab+b^2=F_n ya da a-b=F_n,a^2+ab+b^2=1

(i) a-b=1,a^2+ab+b^2=F_n ise

a=b+1,F_n=a^3-b^3=3b^2+3b+1
           \Rightarrow 2^{2^{n}}+1=3(b^2+b)+1
           \Rightarrow 2^{2^{n}}=3(b^2+b)
           \Rightarrow 3|2^{2^{n}}  ama bu mümkün değil.

(ii) a-b=F_n,a^2+ab+b^2=1 ise

F_n=a-b \Rightarrow 2^{2^{n}}+1=a-b \Rightarrow (2^{2^{n}}+1)^2=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=1-3ab 
              \Rightarrow 2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}+1}+1=1-3ab
              \Rightarrow 2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}+1}=-3ab
                \Rightarrow 3|2^{2^{n}}(2^{2^{n}}+2)  ama bu mümkün değil.

O halde küp farkı olarak yazılamaz.
(1k puan) tarafından 
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,093,728 kullanıcı