F_n=a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
F_n asal olduğundan 2 mümkün durum var.
ya a-b=1,a^2+ab+b^2=F_n ya da a-b=F_n,a^2+ab+b^2=1
(i) a-b=1,a^2+ab+b^2=F_n ise
a=b+1,F_n=a^3-b^3=3b^2+3b+1
\Rightarrow 2^{2^{n}}+1=3(b^2+b)+1
\Rightarrow 2^{2^{n}}=3(b^2+b)
\Rightarrow 3|2^{2^{n}} ama bu mümkün değil.
(ii) a-b=F_n,a^2+ab+b^2=1 ise
F_n=a-b \Rightarrow 2^{2^{n}}+1=a-b \Rightarrow (2^{2^{n}}+1)^2=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=1-3ab
\Rightarrow 2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}+1}+1=1-3ab
\Rightarrow 2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}+1}=-3ab
\Rightarrow 3|2^{2^{n}}(2^{2^{n}}+2) ama bu mümkün değil.
O halde küp farkı olarak yazılamaz.