L'Hospital kullanarak aynı soruda farklı çözümler bulunur mu?

Question

Şöyle bir soruyla karşılaştım:

$\lim _{x\rightarrow \infty }3x\sin \dfrac {5}{x}$

L'Hospitaldan önce sinüs 5/x i aşağıya 1/ olarak indirdim ancak oradan işlem uzayacağı için daha sonra (en baştan) 3x'i aşağıya 1/ olarak indirdim.Sonucu L'Hospital ile 5/3 buldum ancak soruyu hazırlayan, 3x'i değil sadece x'i 1/ olarak aşağıya indiriyor yani şöyle:

$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {3\sin \dfrac {5}{x}}{\dfrac {1}{x}}$

Böylelikle sonucu 15 bulmuş.Bu sizce neden kaynaklı?

Comments

Sanıyorum aritmetik bir hata yapıyorsun.

$\dfrac{5}{\frac13}=15$

---

$15$ cevabı doğrudur.

---

Hmm. evet hatamı şimdi fark ettim teşekkürler.(1/3x) türevini alırken -2.üssü sadece x'e getirmemizin sebebi denklemi 1/3 * 1/x olarak mı düşünmemiz?

Answer 1

L'hopital ispatini inceelerseniz ya da teoremin cumlesini sunu soyledigini gorursunuz: L'hopital sonucu eger bir sayi ise limitin sonucu da o sayidir. 

Ayrica daha limitin basindan biliriz ki, tanimi dolayisi ile, limit varsa bu var olan limit biriciktir. 

Bu ikisinin sonucunda sorunuza cevap verebiliriz: Eger L'hopital sonucunda bir limit degeri elde etti isek bu limit degeri istedigimiz limit degeridir.

____________________

Diger yonden L'hopital ile gelen limit icin bir deger yok ise L'hopital teoremi bir sonuc vermez. Sunu demez: istenen limitin limit degeri yoktur. Hicbir sonuc vermez.

Dogan Donmez'in sorularinda bu bahsettigim soru ve ornegi var: http://matkafasi.com/43134