Question

$lim_{n \rightarrow \infty}lim_{m\rightarrow \infty}(cos2\pi n!x)^m=?$ 

1 olduğunu hissediyorum ama hissiyatla yürümüyor olay..bi el atılmasına ihtiyacım var..

Comments

Yorumunu anlamadım. Bu fonksiyonların limitinin sabit $1$ fonksiyonu olduğunu mu hissediyorsun?

---

evet..elimde $2\pi$ tekrarında bir cosinus fonksiyonu olunca akıl yürütemeyip böyleymiş gibi geliyor..

---

Şunu görebiliyor musun: eğer $$x \notin \{ \frac{k}{2n!} \; : \; k \in \mathbb{Z} \}$$ ise $$ |\cos(2\pi n! x)|<1$$ 

---

evet eğer elemanı olsaydı cosinus değeri sadece +1 ile -1 olurdu..bu da onu alterne yapardı..

---

O zaman 

$$\lim_{m \to \infty} \cos(2\pi n!x)^m = \begin{cases} 0, \quad \text{ eger }x \notin \{ \frac{k}{2n!} \; : \; k \in \mathbb{Z} \} \text{ ise}\\1, \quad \text{ eger } x \in \{ \frac{k}{2n!} \; : \; k \in \mathbb{Z}, \; k \text{ cift }\} \text{ ise}\\ \text{yok}, \quad \text{ eger } x \in \{ \frac{k}{2n!} \; : \; k \in \mathbb{Z}, \; k \text{ tek }\} \text{ ise}   \end{cases}$$

olmaz mi? Simdi $n$'yi degisken olarak dusunup bu fonksiyon ailesinin $n$'ye gore limitini alacaksin.

---

çok teşekkür ederim aydınlatma için..

Answer 1

$$\lim_{n \to \infty}\lim_{m \to \infty} \cos(2\pi n!x)^m = \begin{cases} 0, \quad \text{ eğer }x \notin  \mathbb{Q}  \text{ ise}\\1, \quad \text{ eger }  x \in \mathbb{Q} \text{ ise}   \end{cases}$$

çünkü eğer $x$ rasyonel ise $\frac{p}{q}$ tipindedir ve  yeterince büyük n için $2\pi n!x$ tam sayı hatta çift tamsayı olur ve $cos2\pi n!x=1$ gelir $m \rightarrow \infty$ için de $1$dir. x rasyonel değil ise $\frac{p}{q}$ tipinde ifade edilemez ve $|cos2\pi n! x|<1$ olur ki buradan $m \rightarrow \infty$ için limit 0 gelir.

Comments

Hayır. Senin verdigin $$\lim_{m\to \infty} \lim_{n \to \infty} $$ işleminin cevabı. Yukarıdaki yorumda da belirttiğim gibi önce $m$'ye göre limit alman gerekiyor.

---

hayır hocam yeterince büyük n ler için fiksliyorum m e gore limite geçiyorum..senin yorumunun analizinden geldi bu cevap fikri zaten m için limite geçtiğimde x in tanımı değiştikçe limit değiştiğine göre zaten n in sonsuza gitmesi durumunda limit yoktur demek yetmez mi artık?

---

Ama eğer benim yukarıdaki yorumda yazdığım fonksiyonun $n$'ye göre limitini alırsak sabit sıfır fonksiyonu elde ediyoruz. Demek ki ikimizden biri yanlış. Şimdi birbirimizi ikna etmemiz lazım.