tekrarlı permütasyon

Question

35535555 sayısının rakamlarının yerlerği değiştirilerek yazılabilecek 8 basamaklı doğal sayıların kaç tanesinde her bir 3 rakamının sağında ve solunda 5 rakamı bulunur?

535 535 5 5 italik olarak yazdıklarımı tek bir sayı gibi düşündüm.

$\dfrac {4!}{2!\cdot 2!}.2\cdot 2$ 

4! normal sayıların yer değiştirmesinden 2! . 2! tekrarlı permütasyondan, 2.2 ' de bağlı olan 535'lerdeki 5'lerin yer değiştirmesi için. 

Ama cevap 10, kitapta çözümü de var kitaptaki çözümü de anladım ama benimkindeki yanlışın sebebi ne?

Comments

53535 bu siralamada yok mesela?

---

Ayrica bagli olan besler yer degistirince degisen bir durum olmuyor?

---

4! dediğimiz aman 53535'li durumu da hesaba katmış olmuyor muyuz ama sonuçta o sıralamada illa yanyana gelmezler mi? gerçi bağlı oldukları için evet gelemezler :) yazarken anladım teşekkürler

Answer 1

Önce bu sayı için $5$'leri dizelim: $$*5*5*5*5*5*5*$$ Başta ve sondaki boşluklara $3$ koymayacağımız için bu boşlukları eleyelim: $$\not*5*5*5*5*5*5\not*$$ Bu noktadan itibaren $3$ lerin yanyana gelmesini istemediğimizden saymaya $5\cdot 6$ (yani boşluk sayısının iki azalıp bir arttığı) değil $5\cdot 4$ şeklinde (mevcut boşluklardan biri kullanılmış oldu) devam edeceğiz: $$\dfrac{5\cdot 4}{2!}\cdot\dfrac{6!}{6!}=10$$ adet sayı elde edilir.

Comments

a+b+c=6  (5 lerin toplam sayısı) olacak şekilde ve a,b,c lerin herbirinin en az 1 olması şartıyla

istenilen sayıların a3b3c formatında olduğu görülür.

a+b+c=6 denkleminin pozitif tamsayılar kümesindeki çözüm üçlülerinin sayısı ise 

n sayısı eşitliğin sağ tarafındaki sayı,r ise harflerin sayısını belirtmek üzere

C(n-1,r-1)=C(5,2)=10 olur.

Sorudaki 5 ve 3 sayısı istenildiği kadar değişsede (yeterli 5 olmak kaydıyla)  genel çözüme

C(5 lerin sayısı-1,3 lerin sayısı) ile ulaşılabilir.

---

Elinize sağlık hocam.