S Sorgenfrey doğrusu olsun. S'nin Lindelöff olduğunu gösterelim. U, S'nin bir açık örtüsü olsun. Eğer S'nin bir X alt kümesi U'nun sayılabilir sayıda elemanı tarafından örtülebiliyorsa X kümesine sayılabilir örtülebilir diyelim. Kolayca görülebileceği gibi X1,X2,… sayılabilir
örtülebilir kümelerin bir dizisi ve X=∪∞k=1Xk ise X de sayılabilir örtülebilirdir. n∈Z için
An={a∈R:n<a ve [n,a) sayılabilir örtülebilirdir}
olarak tanımlayalım. n∈S ve U, S 'nin bir açık örtüsü olduğundan bir V∈U
için n∈V dir. [a,b) şeklindeki aralıklar S 'nin bir tabanını oluşturduğundan bir c∈R için n<c ve [n,c)⊂V dir. O halde c∈An dir. Böylece An≠ϕ olduğu görülür. Kolayca görülebileceği gibi a∈An ve n<b<a ise b∈An dir.
Bir başka deyişle a∈An ise (n,a)⊂An dir. An=(n,∞) olduğunu gösterelim. Aksine n<x ve x∉An olacak şekilde bir x∈R olduğunu varsayalım.
Bn={z∈R:n<z ve z∉An } ve β=inf
koyalım. c\in A_{n} olduğundan \left( n,c\right) \subset A_{n}
dir. O halde z\in B_{n} ise c\leq z olur. O halde n<c\leq \beta dır. Ayrıca \beta nın minimalliğinden dolayı n<b<\beta ise b\in A_{n} dir. O halde \left( n,\beta \right) \subset A_{n} dir. Her k\in \mathbb{N} için n<a_{k}=\beta -\frac{\beta -n}{2k}<\beta olduğundan a_{k}\in A_{n} olur. O halde
\cup_{k=1}^{\infty }\left[ n,a_{k}\right) =\left[ n,\beta \right)
sayılabilir örtülebilirdir. \mathcal{U}, \mathbb{S}'nin bir açık örtüsü olduğundan bir W\in \mathcal{U} için \beta \in W olur. Bir d\in \mathbb{R} için n<d ve \left[ \beta ,d\right) \subset W olur. O halde
\left[ n,\beta \right) \cup \left[ \beta ,d\right) =\left[ n,d\right)
sayılabilir örtülebilirdir. Bir başka deyişle d\in A_{n}
dir. Bu ise \beta \in \left( n,d\right) \subset A_{n} çelişkisini verir. O halde A_{n}=\left( n,\infty \right) dir. Böylece
\mathbb{S=R=}\cup_{n\in \mathbb{Z}}\left( n,\infty \right)
olduğundan \mathbb{S} sayılabilir örtülebilir olduğu görülür.
O halde \mathbb{S} bir Lindelöff uzaydır.