Processing math: 53%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
812 kez görüntülendi
Lisans Matematik kategorisinde (31 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 812 kez görüntülendi

R ' de mi yoksa R2 ' de mi? Yani "Sorgenfrey line" mı yoksa "Sorgenfrey plane" mi? Hangisini soruyorsunuz?

<p> R de          ..
</p>

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

S Sorgenfrey doğrusu olsun. S'nin Lindelöff  olduğunu gösterelim.  U, S'nin bir açık  örtüsü olsun. Eğer S'nin bir X alt kümesi  U'nun sayılabilir sayıda elemanı tarafından örtülebiliyorsa  X kümesine sayılabilir örtülebilir diyelim. Kolayca görülebileceği gibi X1,X2, sayılabilir
örtülebilir kümelerin bir dizisi ve X=k=1Xk ise X de sayılabilir örtülebilirdir.  nZ için 
An={aR:n<a ve [n,a) sayılabilir örtülebilirdir}
olarak tanımlayalım. nS ve U, S 'nin bir açık örtüsü olduğundan bir VU
için nV dir. [a,b) şeklindeki aralıklar S 'nin bir tabanını oluşturduğundan bir cR için n<c ve  [n,c)V dir. O halde cAn dir. Böylece Anϕ olduğu görülür. Kolayca görülebileceği gibi aAn ve n<b<a ise bAn dir.
Bir başka deyişle aAn ise (n,a)An dir. An=(n,) olduğunu gösterelim. Aksine n<x ve xAn olacak şekilde bir xR olduğunu varsayalım.
Bn={zR:n<z ve zAn } ve β=inf
koyalım.  c\in A_{n} olduğundan \left( n,c\right) \subset A_{n}
dir. O halde z\in B_{n} ise c\leq z olur. O halde n<c\leq \beta dır. Ayrıca \beta nın minimalliğinden dolayı  n<b<\beta ise b\in A_{n} dir. O halde \left( n,\beta \right) \subset A_{n} dir. Her k\in \mathbb{N} için n<a_{k}=\beta -\frac{\beta -n}{2k}<\beta olduğundan a_{k}\in A_{n} olur. O halde
\cup_{k=1}^{\infty }\left[ n,a_{k}\right) =\left[ n,\beta \right)
sayılabilir örtülebilirdir.  \mathcal{U}, \mathbb{S}'nin bir açık örtüsü olduğundan bir W\in \mathcal{U} için \beta \in W olur. Bir d\in \mathbb{R} için n<d ve \left[ \beta ,d\right) \subset W olur. O halde   
\left[ n,\beta \right) \cup \left[ \beta ,d\right) =\left[ n,d\right)
sayılabilir örtülebilirdir. Bir başka deyişle d\in A_{n}
dir. Bu ise \beta \in \left( n,d\right) \subset A_{n} çelişkisini verir. O halde A_{n}=\left( n,\infty \right) dir. Böylece
\mathbb{S=R=}\cup_{n\in \mathbb{Z}}\left( n,\infty \right)
olduğundan \mathbb{S} sayılabilir örtülebilir olduğu görülür.

O halde \mathbb{S} bir Lindelöff uzaydır.


(541 puan) tarafından 
Sorgenfrey uzayı nedir?
20,291 soru
21,832 cevap
73,524 yorum
2,656,370 kullanıcı