Arctan için seri açılımı kullanılabilir.
$\arctan 1=\frac\pi4$ ve $\arctan x=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\quad (-1\leq x\leq1)$ oluşundan (seride $x=1$ yazarak) bulunabilir ama bu seri çok yavaş yakınsar.
$\text{Arcsin}\,x=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\binom{-\frac12}{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} $ daha hızlı yakınsar. $x=\frac12$ için $\frac\pi6$ yaklaşık bulunabilir.
(McLaurin serisi, https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/analiz_2.pdf sayfa 236 dan yararlanarak bulunur veya http://tr.wikipedia.org/wiki/Ters_trigonometrik_fonksiyonlar) ($\binom{-\frac12}{n}$ nin anlamı da birinci referansta)
Burada sanırım ufak bir problem var. $x=1$ yukarıdaki serinin yakınsaklık aralığının sağ uç noktası. Serinin $x=1$'de (koşullu) yakınsak olduğunu biliyoruz. Ama o noktada fonksiyonun değerine yakınsamayabilir sanki.
Kuşkulu olmakta haklısınız, tam bu durum için Abel in bir teoremi var (Toplamın, fonksiyonun o noktadaki tek taraflı limitine eşit olduğu söylüyor).
Matematik Dünyası dergisinin 2013 yılı 1. sayısında (94) sayfa 36-37
(http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/PDF/13_01_29_37_kuvvet.pdf)
Tosun Terzioğlu tarafından yazılan bir yazıda (başka teoremler yanında bunun da) ispatı var.
Tamamdır. Teşekkürler.