P asal sayı olmak üzere kök p sayısının irrasyonel sayı olduğunu ispatlayınız

Question

Olmayan ergi yöntemiyle , kök p yi rasyonel kabul ederiz

Q=a\b          a\b = aralarında asaldır 

Kök P = a\b 

P = a.a\b.b

P asal old. için a nın karesi P' ye , b nin kareside 1 e eşittir

Gerisini yapamadım belkide buraya kadar da yanlış yapmış olabilirim , 

Comments

$\sqrt{2}$ sayısının rasyonel olmadığının ispatını hatırlıyor musun? 

---

$a^2=p$ oldu, lakin $p$ asaldir. Çelişki!

---

($a\neq 1$ de var tabi burada)

---

Doğru söylüyorsunuz ispat aslinda, açıklamada tamamlanmıştı.Sağolun

---

"P asal old. için a nın karesi P' ye , b nin kareside 1 e eşittir" iddiasının açıklanması gerkir.

---

Bu soruya bakabilirsiniz.

Answer 1

$p$ asal bir sayı olsun, bildiğimiz üzere asallik tamsayılar için konuştuğumuz bir konu şimdi $$\sqrt{p}=\dfrac{a}{b}\quad,(a,b)=1$$ diyelim. Yani $\dfrac{a}{b}$ sadeleşmiş bir kesir ve rasyonel bir sayı. Karesini alalım;$$p=\dfrac{a^2}{b^2}$$ şimdi şu soruyu soralım asal bir tamsayı herhangi bir sayının karesi olabilir mi? Olduğunu kabul edelim, tanım gereği asal sayılar çarpanları yalnızca kendilerinden 1 den oluşan sayılar, eğer tamkareyse iki tane aynı sayının çarpımı olarak yazılabilir, çünkü sonuçta $p\neq\dfrac{a}{b}$ bu da tanıma ters düşer, ikincisi ise asallığı tamsayılar için konuşmamız, eğer $(a,b)=1$ ise $b^2\not\mid a^2$ bu da zaten tamsayı bile olmadığı anlamına gelir. Tamsayı olmaması da asallığın konuşulmayacağı... Buraya kadar $b\neq 1$ olan sayılar için denedik eğer $b=1$ olursa gerçekten $(a,b)=1$ ve $p=a^2$ olur.Lakin asal sayilarin kendileri ve 1 dışında  bir çarpanı yoktur tanım  gereği, yani kabulümüz yanlıştır. $p=a^2$ de olamaz . (Sonuç olarak kabulümüz yanlıştır, asal bir sayı kök içinde tamkare ve muadili dereceli bir tamsayı değildir ve dolayısıyla kökü rasyonel değildir)

Comments

Teşekkür ederim.

---

Rica ederim, kolay gelsin:)

---

"tanım gereği asal sayılar çarpanları yalnızca kendilerinden 1 den oluşan sayılar, eğer tamkareyse iki tane aynı sayının çarpımı olarak yazılabilir, çünkü sonuçta $p\neq\frac ab$ bu da tanıma ters düşer, ikincisi ise asallığı tamsayılar için konuşmamız" de eksik bir nokta var. $\frac ab$ tamsayı değil o nedenle asallık burda işe yaramaz.

Şöyle yapılabilir:

$a^2p=b^2$ olur. $p$ sol tarafı böldüğü için $b^2$ yi böler. $p$ asal olduğu için $b$ yi böler (burada her doğal sayının asalların çarpımı olarak tek şekilde yazılışı kullanılıyor). $b=pc\quad(c\in\mathbb{Z})$ olsun. $a^2p=p^2c^2$ olur. $p$ leri kısaltıp $a^2=pc^2$ elde ederiz. Biraz önceki aynı argüment ile $p$, $a$ yı da böler. Çelişki.

---

Teşekkür ederim hocam

---

Doğan hocam ben bu şekilde anladım.Sizce İspatım doğrumu ?

Kök P yi rasyonel olarak kabul edelim.

Kök P = a\b

P =a.a\b.b

P asal old. için, P nin bölenlerinin a.a\b.b ve 1 olması gerekir.

Ancak P= a.a\b.b eşitliğinde P nin bölenleri a\b , a.a\b.b ve 1 dir.

5. Satırda yazdığım 4. Satırdaki ile Çelişir.

Bu çelişkinin sebebi ise Kök P yi rasyonel sayı olarak kabul edip.a\b şeklinde yazmamızdan kaynaklanır. 

Kök P rasyonel değildir. Rasyonel Olmayan sayılara İrrasyonel sayı denir.

---

Kısaca 

$5=\frac{10}3\frac32$ ama $\frac{10}3\neq1$ , $\frac{10}3\neq5$, $\frac32\neq1$ ve $\frac32\neq5$

Asallığı kullanabilmek için çarpılan sayılar TAMSAYI olmalı.