Question

f:A-->B, g:B-->C iki fonksiyon. gof örten ise g örtendir gosteriniz . gof 1-1ise f 1-1 dir gosteriniz ?

Answer 1

tersten cok basit sekilde gosterilir.

$g$ orten degilse yani icine ne koyarsan koy ortmuyor, $x \in B$ ya da $f(x) \in B$ koy ortmez. Ayni sekilde digeri de ispatlanir. Onu uzun ispatlayayim biraz:

$f$ birebir degilse oyle $x,y \in A$ var ki $x \neq y$ ve $f(x)=f(y)$. O halde ($x\neq y$ fakat) $g(f(x))=g(f(y))$ yani $g\circ f$ birebir degil.

Answer 2

Formel bir ispatta şöyle verilebilir:

$g\circ f \,\ \text{örten} \Rightarrow (\forall z\in C)(\exists x\in A)(z=(g\circ f)(x))=g(f(x))\ldots (1)$

$f:A\rightarrow B\Rightarrow (\forall x\in A)(y=f(x)\in B)\ldots (2)$

$(1),(2)\Rightarrow (\forall z\in C)(\exists y\in B)(z=g(y))\Rightarrow g \,\ \text{örten}.$

Birebirlik için de şunu yazabiliriz:

$x_1,x_2\in A, x_1\neq x_2\ldots (1)$

$g\circ f \,\ \text{birebir}\ldots (2)$

$(1),(2)\Rightarrow (g\circ f)(x_1)\neq (g\circ f)(x_2)\Rightarrow g(f(x_1))\neq g(f(x_2))\overset{?}{\Rightarrow } f(x_1)\neq f(x_2)$

O halde $f$ örten.

Not: "$?$" işareti olan kısmın gerekçesini düşünmenizi tavsiye ederim.