Sayısal Denklik

Question

Belirli bir $E$ evrenindeki hiçbir altkümenin kuvvet kümesine denk olamayacağını gösteriniz. Yani $E$ belirli bir evren olmak üzere

$$\left(\forall A\in 2^E\right)(A\nsim 2^A)$$ önermesinin doğru olduğunu gösteriniz.

Not: $A$ ve $B$ herhangi iki küme olmak üzere

$$A\sim B:\Leftrightarrow \left(\exists f\in Y^X\right)(f, \text{ bijektif})$$

Answer 1

$$\left(\forall A\in 2^E\right)\left(A\nsim 2^A\right)$$ önermesinin yanlış olduğunu yani $$\left(\exists A\in 2^E\right)\left(A\sim 2^A\right)$$ önermesinin doğru olduğunu varsayalım. Yani 

$$f:A\to 2^A, \ f(x)=A_x\subseteq A$$ olacak şekilde bijektif bir $f$ fonksiyonu mevcut olsun. Fakat bu durumda $$B:=A\setminus A_x=\{x|x\in A\wedge x\notin A_x\}\in 2^A$$ kümesi $f$ altında $A$ kümesinin hiçbir elemanının görüntüsü değildir. Çünkü bir $$x\in A$$ için $$f(x)=A_x=B$$ olsa $$x\in B\Leftrightarrow x\notin A_x\Leftrightarrow x\notin B$$ çelişkisi ortaya çıkar. O halde varsayımımız yanlış yani $$\left(\forall A\in 2^E\right)\left(A\nsim 2^A\right)$$ önermesi doğrudur.