Question

$$f(x,y)=\frac{(x+y-2)(x+y-1)}{2}+x$$ kuralı ile verien $$f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to \mathbb{N}$$ fonksiyonunun tersini bulunuz.

Answer 1

($n\in\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ olmak üzere)

$\frac12k(k-1)<n\leq\frac12k(k+1)$ olacak şekilde tek bir $k\in\mathbb{N}$ vardır. (Bu $k$ için)

$$g(n)=(n-\scriptstyle\frac12\textstyle k(k-1),\scriptstyle\frac12\textstyle k(k+1)-n+1)$$ olsun.

$\forall  n\in\mathbb{N}$ için:

$f(g(n))=\frac12k(k-1)+n-\scriptstyle\frac12\textstyle k(k-1)=n$ olur.

$(x,y)\in\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ olsun:

$k=x+y-1$ olsun. 

$f(x,y)>\frac12(x+y-1)(x+y-2)$ ve 

$f(x,y)\leq \frac12(x+y-1)(x+y-2)+x+y-1$ olduğu için

$$\scriptstyle\frac12\textstyle k(k-1)<f(x,y)\leq\scriptstyle\frac12\textstyle k(k+1)$$ olur. Buradan da $\forall (x,y)\in\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ için:

$g(f(x,y))=g(\frac12(x+y-1)(x+y-2)+x)\\=(\frac12k(k-1)+x-\frac12k(k-1),\frac12 k(k+1)+1-(\frac12k(k-1)+x))\\=(x,k+1-x)=(x,y)$

olur.

($k$ için doğrudan bir formül de bulunabilir, ikinci derece denklemler için kök formülünden,

$k=\left\lceil \frac{\sqrt{8n+1}-1}2\right\rceil$ olur.  ($\lceil\ \rceil$: yukarıya yuvarlamak. Tam değer cinsinden:  $\lceil x\rceil=-\lfloor -x\rfloor$)