limit ispat

Question

$x_{n}$ reel sayı dizisi ve $n\rightarrow \infty$  iken $x_{n}\rightarrow \ 1$ değerine yakınsasın. Bu durumda  $n\rightarrow \infty$  için $\dfrac {x_{n}^{2}-e} {x_{n}}\rightarrow 1-e$  olduğunu gösteriniz.

Bi yerden sonra tıkandım yardımcı olur musunuz?

$\forall \varepsilon >0$ için $n \rangle n_{0}$ olduğunda $\left| x_{n}-1\right|  < \varepsilon$ olacak şekilde bir $n_{0}$  tamsayısı var olsun. 

$\forall \varepsilon >0$ için $n \rangle n_{0}$ olduğunda $\left| \dfrac {x_{n}^{2}-e} {x_{n}}-\left( 1-e\right) \right|  < \varepsilon$ $\Rightarrow$  $1-e-\varepsilon  < x_{n}-\dfrac {e} {x_{n}} < 1-e+\varepsilon$ ..........  devamını getiremedim :(

Comments

Hipotezdeki bilgiden $1-\varepsilon<x_n<1+\varepsilon$ geliyor. Kullanıması lâzım! (tabî ki $n>n_0$ ile berâber)

Bir de, isbât kısmında yine $n>n_0$ kullanmışsınız. Fakat bu indis iki durumda da aynı olmak zorunda değil. Meselâ, $n>m_0$ gibi farklı bir indis kullanılması lâzım. 

---

$x_n$ $1$'e çok yakınsa $x_n-e$ de $1-e$'ye çok yakındır.

Answer 1

Hipoteze göre keyfî $\varepsilon_1>0$ sayısı için bir $N(\varepsilon_1)$ doğal sayısı vardır. Öyle ki, $n>N(\varepsilon_1)$ için $|x_n-1|<\varepsilon_1$ sağlanır.  $$\Bigg| \frac{x_n^2-e}{x_n^2}-1+e\Bigg|=\Bigg|(x_n-1)+e\left(1-\frac{1}{x_n}\right)\Bigg|\leq |x_n-1|+e\Bigg| 1-\frac{1}{x_n}\Bigg|=|x_n-1|\left(1+\frac{e}{|x_n|}\right)$$ Şimdi bu ifâdeye bakalım... Bu ifâde için bir $M$ doğal sayısı arıyoruz öyle ki keyfî $\varepsilon>0$ için yakınsaklık sağlansın (uzun uzun yazmamak için böyle yazdım). Eğer $M=N$ alırsak (yâni $M=N$ almak yeter), o hâlde hipotezden faydalanarak, $$\Bigg| \frac{x_n^2-e}{x_n^2}-1+e\Bigg|\leq |x_n-1|\left(1+\frac{e}{|x_n|}\right)<\varepsilon_1(1+e)$$ yazılabilir. Eğer $\varepsilon_1(1+e)=\varepsilon$ ile işâretlersek istenen bulunur:   $$\Bigg| \frac{x_n^2-e}{x_n^2}-1+e\Bigg|<\varepsilon$$