Question

$P(x)= 2 - x^2 + x^3$ polinomu için $P^{16}(x)$ polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı kaçtır?

Answer 1

$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n$ herhangi bir polinom olsun.

Bu polinomu $1$'de degerlendirdigimizde, $$f(1) = a_0 + a_1 + \ldots + a_n$$ oldugunu goruyoruz. Demek ki bir polinomun katsayilarinin toplamini merak ediyorsak, o polinomun $1$'deki degerine bakmamiz gerekiyor.

Bu polinomu $-1$'de degerlendirdigimizde ise, $$f(-1) = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + (-1)^n a_n$$ oldugunu goruyoruz. Demek ki bir polinomun $-1$'deki degeri, katsayilarinin "bir artili bir eksili" sekilde toplamini veriyor (Katsayi $a_k$ tek ise basinda eksi, cift ise basinda arti oluyor).

Bu iki bilgiyi birlestirip, $f(1) + f(-1)$ degerine ve $f(1) - f(-1)$ degerine bakalim.

$$f(1) + f(-1) = \left(a_ 0 + a_1 + \ldots + a_n\right) + \left(a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + (-1)^na_n\right) \\ = 2a_0 + 2a_2 + 2a_4 + \ldots = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \ldots)$$ Demek ki, $f(1) + f(-1)$ toplami, cift dereceli katsayilarin toplaminin iki katini veriyor.

$$f(1) - f(-1) = \left(a_ 0 + a_1 + \ldots + a_n\right) - \left(a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + (-1)^na_n\right) \\ = 2a_1 + 2a_3 + 2a_5 + \ldots = 2(a_1 + a_3 + a_5 + \ldots)$$ Demek ki, $f(1) - f(-1)$ degeri, tek dereceli katsayilarin toplaminin iki katini veriyor.



Yukarida yazdiklarimizdan da su cikiyor: bir $f(x)$ polinomunun tek dereceli katsayilarinin toplami $$\frac{f(1) - f(-1)}{2}\text{ 'ye}$$ esit.

Demek ki $P^{16}(x)$ polinomunun tek dereceli katsayilarinin toplami $$\frac{P^{16}(1) - P^{16}(-1)}{2}$$ olmali.

$P(1)$ ve $P(-1)$'i hesaplayabilirsen, bunlarin 16. kuvvetlerini de hesaplayabilirsin.

Comments

Çok teşekkür ederim. :)