Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
829 kez görüntülendi

$x,y\in\mathbb{R}$ olmak üzere $$-5<x< 7\mbox{  } \text{  ve  } -10<x-y<8$$ olduğuna göre $y$'nin alabileceği tamsayı değerlerinin toplamı nedir? 

 ben ikinci denklemi eksi ile çarpıp birinci denklemle taraf tarafa topladım 17> × > -13 çıktı neden yanlış takildigim yer gidiş yolum mu mantık dısı yardım.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (12 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 829 kez görüntülendi

Zaten doğru bulmuşsunuz, eğer ikinci denklemi $-$ ile çarparsanız $-8<y-x<10$ olur ve bunu birinci denklemle toplarsanız da;

$$-5-8<x+y-x<7+10$$

$$-13<y<17$$ çıkar.

Çözümünüz doğru fakat soru ne istemiş?

<p> Mehmet toktaş hocam soruda ynin alabilecegi degerlein toplamini sormuş cevapta ynin aralığı 5 ile eksi1 arasında 5 e ve -1 eşit.burdanda y nin degerlerinin toplami 14 
</p>
 
<p>
     Zaten benim buldugum y nin deger araligi soruyu saglamaz yani ilk denklemi y yerine ilk denklemde 15 yazarsak × 22 alabilir fakat xin deger aralıgı  -5&lt; X &lt; 7 bu eşitsizligi saglamaz
</p>
 
<p>
    <br>
</p>

Doğru saglamiyor şöyle düşünmeliyiz  $-5<x<7$ iken $y$ aralığını çıkarttığımızda $-10<x-y<8$ oluyor. $a<y<b$ diyelim $-$ ile carptigimizda $-b<-y<-a$ olmaz mı ve $-5-b=-10$ ayrıca $7-a=8$ buradan $b=5$ ve $a=-1$ çıkar yalnız eşitsizlikleri toplarken birinde eşitlik ihtimali varken diğerinde yoksa eşitlik ihtimallerini almazdik yani $-1\leq y \leq 5$ diyebiliriz. Sonuçta bu değerler alınabilir çünkü. Oradan da tamsayi değerleri toplamı $14$ bulunur.

<p> Hocam peki neden ilk mantık olmadı hani bunun biraz daha yorumsal olarak yaklaşımı varmı biraz zorladım ama gerçekten tam kavrayamadım bu ve benzeri sorularda mesela 2 &lt; a &lt; 5 ve 7&lt; a+ 2 &lt; 15 eşitsizlikleri verilip a.(a+2) ifafesinin araligi istendiginde eşitsizlikleri neden taraf tarafa çarpmayıp (a+1)nin karesi nden 2cıkartıp işleme gidiyoryz bu soru tarzlarında neden yaptigim eşitsizlikler olmadı
</p>
 
<p>
     Yani ilk soruda - ile çarpıp taraf tarafa toplarken eşitsizlik kurallarına aykırı bisey yapmış mı oluyoruz aynı şekilde bu ifadede esitsizlikleri taraf tarafa carpıp a.(a+2) yi yakalamak kural dışı mı hocam biraz daha aydınlatsanız çok güzel olacak teşekkürler
</p>
 
<p>
    <br>
</p>

 Eşitsizlikler kafa karıştırıcı olabiliyor, burada tamkareye tamamlamak doğru hareket çünkü eğer a negatif ve pozitif tamsayıların olduğu bir aralıkta olsaydı $a^2$ $a$'dan farklı bir boyutta oluyor, Negatif sayıları atıyor ve üst sınırı mutlak değeri küçük olan sayının karesine göre belirliyor, bazı durumlarda iki yol da doğru sonuç verebilir ama rastlantısal, $a^2$ ve $a$'yı aynı boyutta görmek istiyorsak tamkareye tamamlamalıyız. (Dipnot: $(a+1)^2-1$ yapmalıyız $2$ değil)

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Konunun daha iyi anlasilmasi icin sunlari yazayim:

Pozitif gercel sayilar toplamaya gore kapalidir. Ornegin, bildigimiz uzere  $$1+1=2$$$$2+2=4$$$$\sqrt3+\sqrt5$$ olarak yine pozitif gercel sayilarin icerisine duser.

Iki tam sayi arasindaki $>$ siralamasini soyle tanimliyoruz: $a$ ve $b$ gercel sayilar olmak uzere $$b-a \in  \mathbb R^+$$ ise $b>a$ deriz. 

Sunu hatirlamakta fayda var. Bir gercel sayi icin uc durum soz konusudur ve bunlardan tam olarak biri saglanir. $a$ bir gercel sayi ise 
1) $a=0$
2) $a \in \mathbb R^+$
3) $-a \in \mathbb R^+$ olur.  (Bu durumda bu sayiya negatif deriz).

Bu baglamda
1) $b-a=0$ ise  $b=a$
2) $b-a \in \mathbb R^+$ ise $b>a$
3) $-(b-a) \in \mathbb R^+$ yani $a-b  \in \mathbb R^+$ ise de $a>b$ ya da ayni manadaki tanim ile $b<a$ deriz. 

Eger esitlikleri de katmak istersek $\ge$ ve $\le$ isaretlerini kullaniriz.


Soruna gecersek: 
(Bir kismi icin)

1) $y-x<10$ su demek $10-y+x$ pozitif gercel sayi olmali. 
2) $x<7$ demek $7-x$ pozitif gercel sayi olmali demek.

Dolayisiyla toplamlari da pozitif olur. Yani $$(10-y+x)+(7-x)=17-y$$ pozitif olur. Bu da $$17-y>0$$ yani $$17>y \;\;\; \text{ ya da } \;\;\;y<17$$ oldugunu verir.

(25.4k puan) tarafından 

Sercan hocam fakat ynin aralığı eksi1 e eşit eksi 1 den buyuk ve 5 e eşit 5 ten büyük fakat siz y nin üst sınırınnı 17 buldunuz soruda 5 diyor yada ben mi anlamadım anlatmak isteduklerinizi anladım da burdan ynin alt ve üst sınırını nasıl çekeriz

Tamam hocam pardon bir kısmı için demişsiniz özür dilerim tamam görmedim orayı sonuca gitmediğinizi belirtmişsiniz bir yaklaşım yapmışsınız

20,247 soru
21,774 cevap
73,415 yorum
2,136,800 kullanıcı