$ax+3(x-b)=a-2b$ eşitliği her $x$ gerçel sayısı için sağlanıyorsa $(a,b)$ ikilisini bulunuz

Question

$a,b \in \mathbb R$ olmak üzere $ax+3(x-b)=a-2b$ eşitliği her $x$ gerçel sayısı için sağlanıyorsa $(a,b)$ ikilisini bulunuz.

Comments

Merhaba, sitede soru sorarken dikkat edilmesi gereken pek çok kural var. Bunlardan en önemlilerinden birisi, soru soran kişinin yazdığı soru hakkında kendi denemelerini ve düşündüklerini yazması kuralı. Bu kuralın pek çok nedeni var. Bu konuda lütfen şuradaki yorumu okuyun. Genel kurallar hakkında da lütfen şuraya bakınız.

Önemli anımsatma: Genel olarak kurallara uygun sorulmuş sorular yanıt bulmakta.

---

Başlangıç olarak her $x \in \mathbb{R}$ için sağlanıyorsa o zaman eşitliğin iki tarafının birbirine eşit olamsı gerekir.

Bu aynı şekilde $0=0$ gibi de gösterilebilir, yani sağ tarafta sıfır varsa sol tarafın da sıfıra eşit olması gerekir. Ama denklem gibi değil başladığın yere dönme mantığı gibi düşünebilirsin. 

---

Verilen eşitliği $(a+3).x=a+b$ şeklinde yazalım ve " her $x$ gerçel sayısı için sağlanıyorsa " nın anlamını düşünürsek... 

Answer 1

$ax+3(x-b)=a-2b$ ise;

$ax+3x-3b=a-2b \rightarrow ax+3x=a+b$ olur

Yani $(a+3)x=a+b$ olur

Denklemin sol tarafında $x$'li bir ifade var ve sağ tarafında yok ise $x$'in katsayısı $0$ olmalıdır!

O zaman $a=-3$, sol taraf $0$ olunca sağ taraf da $0$ olmalıdır!

O zaman $b=3$,

Demek ki $(a,b)=(-3,3)$ 

Peki neden böyle yaptık?

Çünkü bir eşitlik her $x \in \mathbb{R}$ için sağlanıyorsa seçilen $x$ değerlerinin denkleme bir etkisi olmamalıdır. Yani $x$'in katsayıları aynı olmalı ve sabit terimler konuşmalıdır. Örnek;

$3x+2=3x+2$ denklemi her $x \in \mathbb{R}$ için sağlanır, neden?

Çünkü $x$ yerine ne verirsem vereyim $0=0$ veya $2=2$ sonucuna ulaşıyorum, bu soruda yapmaya çalıştığımız da bu idi. Peki şöyle bir örnek verelim;

$3x+2=3x+5$ denklemi her $x \in \mathbb{R}$ için sağlanır mı?

HAYIR! çünkü $x$'lerden kurtulunca $5=2\rightarrow 3=0$ sonucuna ulaşırız ki bu da çözüm yok demektir.

Kolay gelsin:)