Alt Küme Sorusu Eleman Sayıları Toplamı

Question

A={1,2,3,4,5,6}

Kümesinin 3 elemanlı tüm alt kümelerindeki tüm elemanların toplami kaçtır?

Tüm 3 elemanlı alt küme sayısını C(6,3)=20 olarak buldum.1'den 6'ya kadar olan sayıların toplamı ise 21 ve çarparak 420 buldum.Bu tip elemanların toplamı sorularında temel mantık nedir?

Cevap:210

Comments

1- Sanırım böyle bir soru var sitede halihazırda var. Tıpatıp aynısı bile olabilir.

2- Neden bu iki sayıyı birbiriyle çarptın? Sorunun yanıtı burada gizli.

Answer 1

Genelinin ispatini vereyim: Kumemiz $$\{1,2\cdots,n\}$$ olsun ve buradan $1 \le k \le n$ elemanli alt kumelere bakalim.

ilk olarak $k$ elemanli alt kume sayisini bulalim. Bu sayisi $$\binom nk$$ olur. Bu kumelerdeki toplam eleman sayisi (sayi bakimindan, eleman degil) $$k\cdot \binom{n}{k}=k \cdot \frac{n \cdot (n-1)!}{(k-1)!\cdot k\cdot (n-k)!}=n\binom{n-1}{k-1}$$ olur.

ikinci olarak her eleman esit miktarda gozukeceginden (ki bu cok dogal) her eleman $$\binom{n-1}{k-1}$$ kere belirir. 

Bu da bize istenen sayinin $$(1+2+\cdots+n)\binom{n-1}{k-1}=\frac{n(n+1)}{2}\binom{n-1}{k-1}$$ oldugunu verir. 


Kumenin elemanlari $$\{a_1,\cdots, a_n\}$$ olsaydi. Bu toplamin ayni sekilde $$(a_1+\cdots+a_n)\binom{n-1}{k-1}$$ olacagini gorurduk.