Genelinin ispatini vereyim: Kumemiz
{1,2⋯,n}
olsun ve buradan
1≤k≤n elemanli alt kumelere bakalim.
ilk olarak
k elemanli alt kume sayisini bulalim. Bu sayisi
(nk)
olur. Bu kumelerdeki toplam eleman sayisi (sayi bakimindan, eleman degil)
k⋅(nk)=k⋅n⋅(n−1)!(k−1)!⋅k⋅(n−k)!=n(n−1k−1)
olur.
ikinci olarak her eleman esit miktarda gozukeceginden (ki bu cok dogal) her eleman
(n−1k−1)
kere belirir.
Bu da bize istenen sayinin
(1+2+⋯+n)(n−1k−1)=n(n+1)2(n−1k−1)
oldugunu verir.
Kumenin elemanlari
{a1,⋯,an}
olsaydi. Bu toplamin ayni sekilde
(a1+⋯+an)(n−1k−1)
olacagini gorurduk.