Kombinasyon sorusu

Question

Bir otelde 1 tane 2 kişilik,4 tane 3 kişilik oda var.3 kişilik odalar özdeş olduğuna göre 14 kişi bu otele kaç farklı şekilde yerleşebilir?

Bu soruda  

$\left( \begin{matrix} 14\\ 2\end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix} 12\\ 3\end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix} 9\\ 3\end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix} 6\\ 3\end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 3\end{matrix} \right) \cdot \dfrac {1} {4!}$

gibi bir cevaba ulaşıyorum.Ama doğru cevaba ulaşamadığıma göre sanıyorum odadaki yatakların da dikkate alınması istenmiş.

10 arkadaş 3 arabayla seyahate çıkacaklardır.Arabaların biri  2 kişilik diğerleri 4 kişiliktir.Belli iki arkadaş aynı arabada olmamak üzere kaç değişik şekilde yola çıkılabilir?

Yukarıdakine benzeyen bu soruda ise koltuklar dikkate alınmamış. Bu iki soruyu birbirinden ayıran nedir?

Comments

1- $1\choose3$ nedir?

2- $\frac{1}{4!}$'e neden ihtiyaç duydun?

Soruyu basitleştirerek soralım. Oradan doğru yanıtı yavaş yavaş bulalım. Odalar iki tane olsun ve birisi iki kişilik, diğeri 12 kişilik olsun. Bu iki odaya 14 farklı arkadaş kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

---

1-Yanlış yazmışım hocam.Hemen düzeltiyorum sondan 2.çarpan  c(3,3) olacak

2-Ben soruyu ilk gördüğümde bu iki kişilik ve 4 özdeş üç  kişilik odaya kaç farklı kişi seçebiliriz şeklinde bir yorum yaptım.Zaten genellikle bundan kaybediyorum.Bazı sorularda seçimin mi sonucun mu önemli olduğunu ayırt edemiyorum.

Eğer ki seçimse önemli olan 2 kişilik oda için c(14,2),kadar 3 kişilik odalar için sırasıyla C(12,3),C(9,3),C(6,3),C(3.3) kadar seçim yapılabilir.Fakat bu haliyle  3 kişilik odalar için seçilen grupların kendi aralarında yer değiştirmelerini de hesaba katmış olduk.Yer değiştirmeleri seçimlerimi değiştirmez.Bu sebeple gerekli sadeleştirme 1/4! üzerinden yapılabilir dedim.

Sizin sorunuza gelince cevap için 14 ! derim.

Bu soruda özdeşlik neden belirtilmiştir? 

Yer değiştirmelerin sonucu değiştireceği çıkarımı hangi ifade üzerinden yapılır?(Örneğin ikinci soruda  yer değiştirmeleri dikkate alınmamış)

Bu sorulara verecek bir cevap bulamıyorum.

---

Neden $14!$ dersin? Açıklar mısın?

---

Odalar özdeş demek, şu demek. Kimin hangi odada olduğuyla değil, kimlerle birlikte olduğuyla ilgileniyoruz demek. Şöyle de açıklayabiliriz. $A,B,C$ üç oda olsun, $A$ ve $B$ iki kişilik özdeş oladalar, $C$ de üç kişilik bir oda olsun. İnsanlar da $1,2,3,4,5,6,7$ olsun. $A$ ve $B$ özdeş olduğu için $$A=\{1,2\},B=\{3,4\},C=\{5,6,7\}$$dağılımıyla $$A=\{3,4\},B=\{1,2\},C=\{5,6,7\}$$dağılımı arasında bir fark yok. Bu durumda yalnızca grupların ne olduğunun önemli olmasını şöyle de düşünebilirsin. Bir otele gittiniz ve Deniz ile yalnız bir odada kalmak istiyorsun. Grup halinde gittiğiniz otelde senle Deniz'in $A$ odasında olmanızla $B$ odasında olmanızın bir farkı yok.

---

p(14,14)  bu 2 ve 12 kişilik odalar için seçilebilecek tüm olası gruplar ve bu grupların üyelerinin kendi aralarındaki yer değişimlerini verecektir.(Eğer sadece seçim değil sonuç  da önemliyse)

---

cevabı sizin sorunuzun cevabı ile eş görüp 14! olarak kabul ediyorsak farkı olmadığını dile getirdiğiniz durumları da cevaba dahil etmiş oluyoruz.

---

Neden $p(14,14)$ diye düşünüyorsun. Formül yerine, nasıl saymaya çalıştığını anlatırsan daha kolay buluruz sonucu. Mesela şu soruya bakalım. Beş kişi var, iki ve üç kişilik iki oda var. Nasıl farklı odalara dağılınır? Çözüm:

1- İki kişi seçmemiz gerek! (Bu saymaya başladığımız yer)

2- Şimdi bu sayıyı bulmamız lazım. Ama önemli adım birinci adım, çünkü neyi sayacağımızı bilmeden, nasıl sayacağımızı bilmemizin bir önemi yok. Beş kişiden iki kişi nasıl seçilir? Formül kullanalım: $5\choose 2$

3- Birinci odaya demeyelim de, iki kişilik odaya insanları koyduk. Otomatikman diğer odanın sakinlerini de belirlemiş olduk. O halde yanıt:$$5\choose 2$$

---

Bu cevaba göre  grup üyelerinin kendi aralarındaki yer değişimleri dikkate alınmış oluyor mu?

---

Lobide çalışan kişi odaya hangi sırayla girildiğini önemsemiyor ki. $$A=\{1,2\}=\{2,1\}$$

---

İşte problemde burada  hocam başlığı açmamın nedeni bu aynı şeyden bahsediyoruz aslında  .Ben de sizin gibi yalnızca seçimlerin önemli olduğunu düşünüp cevabı yukarıdaki gibi buldum. Ama yer değişimleri de göz önüne alınmış olacak ki doğru cevap olarak 14! gözüküyor.Bu cevap da soruda verilen özdeşliğe uygun değil.

---

Asıl sorunun yanıtı olarak mı $14!$ verilmiş? Yanlış. Ama senin yanıtın da yanlış. Çünkü sondaki çarpan yanlış.

---

Doğru cevap nedir ?:)

---

Bu sorular bana göre çok sıkıntılı hocam.Özdeşliğin söz konusu olmadığını farz edelim

Kimisi sizin gibi lobideki çalışana göre durumu değerlendirir,kimisi odadaki yataklara göre.Seçici ifadeler olması lazım diye düşünüyorum

---

Senin yanıtın doğru, 4 tane üç kişilik oda var. Ben 3 tane üç kişilik oda var diye düşündüm.

---

@Asli, çözümü cevap kısmına yazarsan soru cevapsızlardan çıkacaktır.

Answer 1

2 kişilik oda için $14\choose 2$,kadar 3 kişilik odalar için sırasıyla C(12,3),C(9,3),C(6,3),C(3.3) kadar seçim yapılabilir.Fakat bu haliyle 3 kişilik odalar için seçilen grupların kendi aralarında yer değiştirmelerini de hesaba katmış olduk.Yer değiştirmeleri seçimlerimizi değiştirmez.Bu sebeple gerekli sadeleştirme 1/4! üzerinden yapılabilir.Kısacası doğru cevap $$\left( \begin{matrix} 14\\ 2\end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix} 12\\ 3\end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix} 9\\ 3\end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix} 6\\ 3\end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix} 3\\ 3\end{matrix} \right) \cdot \dfrac {1} {4!}$$ olmalıdır

Comments

 x\choose y yazarsan $x \choose y$ çıkar.

---

\binom{x}{y} var bir de: $\binom{x}{y}$.