Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
511 kez görüntülendi

Bir düzgün beşgen ile bu düzgün beşgenin kenarlarına bitişik şekilde özdeş beş kareden oluşan bir şekil her bir bölge n tane renkten herhangi bir tanesi ile boyanacaktır.

Oluşturulan herhangi bir desen eğer başka bir desenin saat yönünde döndürülmesiyle elde edilebiliyorsa bu iki desen aynı kabul ediliyor.

Buna göre kaç farklı desen elde edilir?

Biliyorum ne düşündüğümü belirtmem gerekiyor ama aklıma bir şey gelmedi. 

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (111 puan) tarafından  | 511 kez görüntülendi

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Çözüm 1 (Simetri Prensibi ile):
Düzgün beşgenin her bir köşesi için $n$ tane renkten birini seçerek $n^5$ boyama yapabiliriz. Döndürme sonucu biri diğerinden elde edilen boyamalar özdeş kabul edildiği için tıpkı dairesel permütasyonda olduğu gibi tüm durumu $5$ e bölmek isteriz. Fakat bunun biraz sıkıntılı olduğunu görmeliyiz. Örneğin $n=2$ için $2^5$ sayısı $5$ ile tam bölünmüyor. Bu, bir boyama sayısı olamaz. Buradaki sorun, bazı boyamalar tüm durum olan $n^5$ içinde $5$ er kez görülürken bazıları yalnızca $1$ kez görülüyordur.

İşte bu yalnızca $1$ kez görülen boyamaların sayısını bulup tü durumdan çıkaralım. Bunlar, tek renkli boyamalardır. $n$ farklı renk olduğundan tam $n$ tane tek renkli boyama vardır. O halde $n^5 - n$ tane boyama, $5$ er kez görülmüşlerdir. Bunların hepsini birer kez saymak istediğimizden
$$ \dfrac{n^5 - n}{5}+n = \dfrac{n^5 +4n}{5}$$
özdeş olmayan boyama türü elde ederiz.


Çözüm 2 (Burnside Lemması ile): Beşgenin merkezi etrafında döndürme fonksiyonlarının grubu $G=\{ e, r_1, r_2, r_3, r_4 \}$ olsun. Burada $e=(1)(2)(3)(4)(5)$ özdeş fonksiyon, $r_1=(12345)$ $72^\circ$ döndürme fonksiyonudur. Diğerleri de $r_2=(13524)$, $r_3=(14253)$, $r_4=(15431)$ sırasıyla $144^\circ $, $216^\circ$, $288^\circ$ açıları ile döndürme fonksiyonlarıdır. Burnside Lemması'na göre
$$ \text{orbit sayısı} = \dfrac{1}{|G|}\sum_{f\in G}|Fix(f)|$$
dir. Şimdi $|Fix(f)|$ değerlerinin nasıl hesaplandığına bakalım.
$n$ farklı rengimiz vardır. $e$ özdeş fonksiyonu $5$ ayrık devirin çarpımı biçiminde olduğundan $|Fix(e)|=n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n = n^5$ tir.$r_i$ döndürme fonksiyonları $1$ ayrık devirin çarpımı biçiminde olduğundan $|Fix(r_1)|=|Fix(r_2)| = |Fix(r_3)| = |Fix(r_4)| =n $ dir. Buna göre
$$ \text{orbit sayısı} = \dfrac{1}{5}\sum_{f\in G}|Fix(f)|=\dfrac{n^5 + 4n}{5}$$
tane özdeş olmayan boyama elde edilir.


NOTLAR
1. Genel olarak $p$ asal sayı iken düzgün $p$-genin köşelerini $n$ farklı renk seçimi ile boyama sayısı birinci yol kullanılarak
$$ \dfrac{n^p - n}{p} + n = \dfrac{n^p + (p-1)n}{p} $$
ve ikinci yol kullanılarak $|Fix(e)|=n^p$, $|Fix(r_i)|=n$ olup yine
$$ \text{orbit sayısı} = \dfrac{1}{p}\sum_{f\in G}|Fix(f)|=\dfrac{n^p + (p-1)n}{p}$$
elde edilir.

2. $\dfrac{n^p - n}{p}$ bir tam sayı olduğundan $n^p \equiv n \pmod{p}$ sonucu elde edilir. Fermat teoreminin kombinatorik bir ispatıdır.

3. Düzgün $m$-gen için, döndürmeler özdeş olmak üzere $n$ farklı renk yardımıyla yapılan boyamaların sayısı $N(m,n)$ ile gösterilir ve Kolye Sayısı (Necklace)  olarak isimlendirilir. Döndürmeler ile beraber, doğruya göre simetri ile elde edilen boyamaların da özdeş kabul edildiği durumların sayısı $B(m,n)$ ile gösterilir ve Bilezik Sayısı (Bracelet) olarak isimlendirilir.
Eşkenar üçgen ve kare için kolye, bilezik sayıları hesaplarını bağlantı 1 , bağlantı 2 ve bağlantı 3 te video olarak sundum. Daha pekiştirici olması için yeni videolar da ekleyeceğim.
(1.1k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Hocam soruya ait bir çizim yapmışlar. image

Soruyu daha anlaşılır yapmak için görseli başta verseniz iyi olurdu. Sağlık olsun, ortadaki kısmı $n$ farklı yolla boyayabileceğimiz için yukarıda verdiğim cevabı da $n$ ile çarpmanız yeterlidir.

$$ \dfrac{n^6 +4n^2}{5} $$ 

farklı boyama olur.

Hocam teşekkür ederim, elinize sağlık. 

19,117 soru
21,037 cevap
69,856 yorum
23,343 kullanıcı