Çözüm 1 (Simetri Prensibi ile):
Düzgün beşgenin her bir köşesi için n tane renkten birini seçerek n5 boyama yapabiliriz. Döndürme sonucu biri diğerinden elde edilen boyamalar özdeş kabul edildiği için tıpkı dairesel permütasyonda olduğu gibi tüm durumu 5 e bölmek isteriz. Fakat bunun biraz sıkıntılı olduğunu görmeliyiz. Örneğin n=2 için 25 sayısı 5 ile tam bölünmüyor. Bu, bir boyama sayısı olamaz. Buradaki sorun, bazı boyamalar tüm durum olan n5 içinde 5 er kez görülürken bazıları yalnızca 1 kez görülüyordur.
İşte bu yalnızca 1 kez görülen boyamaların sayısını bulup tü durumdan çıkaralım. Bunlar, tek renkli boyamalardır. n farklı renk olduğundan tam n tane tek renkli boyama vardır. O halde n5−n tane boyama, 5 er kez görülmüşlerdir. Bunların hepsini birer kez saymak istediğimizden
n5−n5+n=n5+4n5
özdeş olmayan boyama türü elde ederiz.
Çözüm 2 (Burnside Lemması ile): Beşgenin merkezi etrafında döndürme fonksiyonlarının grubu G={e,r1,r2,r3,r4} olsun. Burada e=(1)(2)(3)(4)(5) özdeş fonksiyon, r1=(12345) 72∘ döndürme fonksiyonudur. Diğerleri de r2=(13524), r3=(14253), r4=(15431) sırasıyla 144∘, 216∘, 288∘ açıları ile döndürme fonksiyonlarıdır. Burnside Lemması'na göre
orbit sayısı=1|G|∑f∈G|Fix(f)|
dir. Şimdi |Fix(f)| değerlerinin nasıl hesaplandığına bakalım.
n farklı rengimiz vardır. e özdeş fonksiyonu 5 ayrık devirin çarpımı biçiminde olduğundan |Fix(e)|=n⋅n⋅n⋅n⋅n=n5 tir.ri döndürme fonksiyonları 1 ayrık devirin çarpımı biçiminde olduğundan |Fix(r1)|=|Fix(r2)|=|Fix(r3)|=|Fix(r4)|=n dir. Buna göre
orbit sayısı=15∑f∈G|Fix(f)|=n5+4n5
tane özdeş olmayan boyama elde edilir.
NOTLAR
1. Genel olarak p asal sayı iken düzgün p-genin köşelerini n farklı renk seçimi ile boyama sayısı birinci yol kullanılarak
np−np+n=np+(p−1)np
ve ikinci yol kullanılarak |Fix(e)|=np, |Fix(ri)|=n olup yine
orbit sayısı=1p∑f∈G|Fix(f)|=np+(p−1)np
elde edilir.
2. np−np bir tam sayı olduğundan np≡n(modp) sonucu elde edilir. Fermat teoreminin kombinatorik bir ispatıdır.
3. Düzgün m-gen için, döndürmeler özdeş olmak üzere n farklı renk yardımıyla yapılan boyamaların sayısı N(m,n) ile gösterilir ve Kolye Sayısı (Necklace) olarak isimlendirilir. Döndürmeler ile beraber, doğruya göre simetri ile elde edilen boyamaların da özdeş kabul edildiği durumların sayısı B(m,n) ile gösterilir ve Bilezik Sayısı (Bracelet) olarak isimlendirilir.
Eşkenar üçgen ve kare için kolye, bilezik sayıları hesaplarını
bağlantı 1 ,
bağlantı 2 ve
bağlantı 3 te video olarak sundum. Daha pekiştirici olması için yeni videolar da ekleyeceğim.