Aşağıdaki ifadenin en sade şekli nedir ?

Question

$[\left(A\cup B\right) \subset\left(A\cup C\right)]\wedge[\left(A\cap B\right) \subset\left(A\cap C\right)]$

Comments

Merhaba, sitede soru sorarken dikkat edilmesi gereken pek çok kural var. Bunlardan en önemlilerinden birisi, soru soran kişinin yazdığı soru hakkında kendi denemelerini ve düşündüklerini yazması kuralı. Bu kuralın pek çok nedeni var. Bu konuda lütfen şuradaki yorumu okuyun. Genel kurallar hakkında da lütfen şuraya bakınız.

Önemli anımsatma: Genel olarak kurallara uygun sorulmuş sorular yanıt bulmakta.

---

Hocam kuralları okudum biliyorum ,kendi düşüncemi de aktarıcam şimdi yoruma ekleyeceğim ,siz benden hızlı çıktınız :)

---

$(A\cup B) \subset(A\cup C)\wedge(A\cap B) \subset(A\cap C)$ yazarken kast edilenin 

$$\Big[(A\cup B) \subset (A\cup C)\Big]\wedge \Big[(A\cap B) \subset (A\cap C)\Big]$$ varsayıyorum.

---

Evet tam olarak öyle sorunun doğru hali , kusura bakmayın.

---

Kusura bakılacak bir şey yok. Çözüm için ne düşündün bilmiyorum ama bir öneride bulunabilirim. Genel bir üç kümenin resmini çiz, hani üç küme, kesişiyorlar falan filan. Bunların isimlerini yaz, ondan sonra da, birinci şarta bak. Onun olması için resmi nasıl değiştirmen gerekir onu düşün ve resme yama yap. Sonra da ikinci kısım aynısını yap.

---

Bence, ifadeyi A parantezine alırsak eğer ; 

 $\left[A\cup (B\subset C\right)]\wedge\left[A\cap (B\subset C \right)]$   ve a=$A$ ve b=$\left(B\subset C\right)$ dönüşümünü yaparsak, 

$\left(a\cup b\right)\cap\left(a\cap b\right)$=$\left(A\cap B\right)$/$C$. elde ettim ama.dogru mudur? ( A ve B kümelerini Venn şeması olarak belirterek kapsar dediği için C kümesini,B kümesinin içine çizip kesiştirdim)

---

A birleşim (B altkümesidir C) ne demek?

---

Gösterdiğim dönüşümde mı yoksa soruda $V$ bağlacından önceki ifade mi ? $A \cup\left(B\subset C\right)$ ifadesinin kısa eşitliğini bilmiyorum.

---

Ben yazdığın şeyin ne anlama geldiğini soruyorum. Bir tanesi $\cup$, ikili bir işlem. İki kümenin birleşimi demek. Ötekisi ise $\subset$, bir iddia/sıralama: Soldaki sağdakinin içinde demek. Senin yazdığının Türkçesi şu: A kümesi ile "B kümesi C kümesinin altkümesi"nin birleşimi.

---

Ben sadece A'lar ortak ve aradaki işlem de aynı olduğu için sorudan da hareketle sadeleştirmeye çalıştım. Şekil de çizince anlamlı oluyo ,  anlamadım nasıl çıkacaz işin içinden?

---

Kumelerden eleman alarak islem yapilabilir. 
Mesela $x\in A\cup B$ ise $x\in A$ ya da $x\in B$ olmali gibi...

---

 Sercan Hocam , sizin verdiğiniz ipucuyla soruya şöyle bir şekil verebilir miyiz acaba ?

$x\in A\cup B$ olsun. O halde $x\in A$ V $x\in B$olur.

Önce 1. Duruma bakalım: $x\not\in A$ , $x\in B$ ise ; $x\in\left(A\cup B\right)$ ve $x\not\in\left(A\cup C\right)$ diyebiliriz.

2. Durum: $x\in A$ , $x\not\in B$ ise $x\in\left(A\cup B\right)$ ve $x\in\left(A \cup C\right )$ diyebiliriz. Demek ki $x\in A$, $x\in B$ imiş.

(Soruda $\subset$ ifadesi olduğu için 2.durum sağlanır , 1. Durum sağlanmaz. Çünkü 1. Durumda $x\not\in\left(A\cup B\right)$ ifadesi var.)

Ve son olarak $y\in\left(A\cap B \right)$ olsun.

Bu durumda $y\in A$ $\wedge$ $y\in B$ olur. Ve $\left(A\cup B\right)$$\subset$$\left(A\cup C\right)$ diyebilmek için $C$'de $y$'den farklı bir eleman vardır.Bu farklı elemana $z$ diyelim. 

Bu durumda ( okuyucu şekil çizerse daha iyi anlar) $z$$\in \left(A\cap C\right)\backslash \left(A\cap B\right)$ bulunur.

O halde ,bulunan herşey soruda yerine konursa $[\left\{x,y\right\}\subset \left\{x,z\right\}] \wedge\left\{x\right\}$= $\left\{x\right\}$ bulunur.

Answer 1

Burada bir iddia var, bu iddiaya $Z$ diyelim. Bu $Z$ iddiası iki daha ufak iddia içeriyor. Bu ufak iddialardan birincisine $X$, ikincisine de $Y$ dersek, ana iddiamız

$$X\wedge Y$$ biçiminde yazılabilir. Simgesel biçimde değil de, alışkın olduğumuz günlük dilde ifade edersek, $Z$, şu iddiaymış: $$\text{Hem $X$ iddiası hem de $Y$ iddiası doğrudur.}$$ Soru ne diyor? Soru diyor ki, benim $X$'le $Y$'yle yorma, daha kısa biçimde söyle ne söyleyeceksen. Pekala, bakalım.

1. $X$ iddiası şu: $(A\cup B)\subset(A\cup C)$
2. $Y$ iddiası ise şu: $(A\cap B)\subset(A\cap C)$

Matematik demek, düşünmek ve dile getirmek demek. Bu soruda bu ilkeyi göstermek için çok hoş bir örnek. O yüzden hiç simgesel bir dile başvurmadan bu soruyu açıklayacağım. Yukarıda sıraladığım iddiaların anlamlarını Türkçeye çevirelim.

1. $X$iddiası: $A$ ya da $B$'den bir eleman alırsan, o eleman $A$ ya da $C$'nin elemanıdır.
2. $Y$ iddiası: Hem $A$'da hem $B$'de bulunan bir eleman alırsan, o eleman hem $A$'da hem de $C$'de olan bir elemandır.

Şimdi $X$ iddiasına biraz yakında bakalım. Aldığımız eleman $A$'da ise, bu iddia bize bir şey söylemiyor. Çünkü $A$'dan alınan bir elaman doğal olarak $A$ ya da $C$'nin elemanıdır. O halde, $X$ iddiası aslında aldığımız eleman $A$'da değilse gerçek anlamda bir iddia. $A$ ya da $B$'den aldığımız bir eleman ama $A$'da değil. Bu ne demek, aldığımız eleman $B-A$'dan. Peki, iddiamız ne diyordu. Bu eleman $A$ ya $C$'dedir. Ama aldığımız eleman $A$'da değil. O halde iddiamız, aldığımız elemanın $C-A$'da olduğunu söylüyormuş. O halde $X$ iddiamız aslında şunu diyormuş:

1- $X$ iddiası: $B$'nin $A$'da olmayan kısmı, $C$'nin içine düşüyor.

Dönelim $Y$ iddiasına. Aynı biçimde yaklaşacağız. Aldığımız eleman hem $A$'nın hem de $B$'nin. Bu eleman hali hazırda $A$'nın olduğu için, $Y$ iddiasının teste muhtaç kısmı aldığımız elemanın $C$'de olup olmadığı yani. Yani esas iddia orası. O halde $Y$ idiiası aslında şunu diyormuş. 

2- $Y$ iddiası: $B$'nin $A$'da kalan kısmı, $C$'nin içine düşüyor.

Geldik zurnanın zırt dediği yere, yani $X$ iddiası ile $Y$ iddiası beraber ne diyorlar. $B$'nin $A$'da kalan kısmıyla $A$'da kalmayan kısmı, ikisi de $C$'nin içine düşüyor. Ama $B$'nin $A$'daki kısmı artı $A$'da olmayan kısmı demek, $B$'nin ta kendisi demek. O halde $Z$ iddiası kulağımızı düzgün gösterseydik şu halde yazılabilirmiş: $$B\subset C$$