Toplama İşleminde Taşıma gerektirmemek

Question

$ A=\left \{ 1000,1001,...,2007 \right \} $ sayılarından, toplama işleminde taşıma gerektirmeyecek şekilde kaç ardışık sayı çifti seçilebilir? 

Ben burada toplama işleminde taşıma gerektirmeme daha doğrusu toplama işleminde taşıma ifadesine takıldım. Acaba bir sayı çifti seçtiğimiz zaman toplamlarının da seçildiği küme içinde bulunması gibi bir şey mi? (net bir tanım veya açıklama yok) İnternetten araştırdığım zaman da lojistik veya toplama işleminde değişme, birleşme gibi özellikler çıkıyor.:) 

Comments

Toplama işleminde taşıma ne demek? Bunun tanımını biliyor musun?

---

@Safak, sorunun ozetini mi yazdin? 

---

Yorumum biraz saçma olmuş evet.

---

Bu sekilde bu tanimi merak edenlerin sayisinin en az üç oldugunu anlamis olduk.

---

Yok ben tanımı biliyorum. Taşıma yapmak şu demek (formal bir tanım veremeyeceğim). Aynı basamağa denk gelen sayıları topladığımızda $10-19$ arasında bir sayı elde ediyorsak toplamda o basamağın altına $1$'den sonraki kısmı yazıp, bir soldaki basamağa da $1$ ekliyoruz, $20-29$ arasında bir sayı elde ediyorsak toplamda o basamağın altına $2$'den sonraki kısmı yazıp, bir soldaki basamağa da $2$ ekliyoruz vb.

Örneğin $193+49$ sayılarını toplarken önce birler basamağını bulacağız. O yüzden birler basamağındaki sayıları toplayacağız: $3+9=12$. BToplamın birler basamağına $2$ yazacağız ve $12$'nin $2$ sini kullanıp $10$'nunu arttırdığımız için onu onlar basamağına aktaracağız. Kaç tane $10$ var, $1$. O halde $1$ ekleyeceğiz $10$lar basamağına. Yani toplama şimdilik şuna benziyor $$\text{$193+49=???2$ ve de elde var 1}$$ Peki, $10$lar basamağının altına ne yazacağız toplamda. $9$ tane $10$, $193$'ten geliyor, $4$ tane de $49$'dan. Yani $9+4=13$ tane. Ama bir tane $10$ da birler basamağındaki işlemden taşımıştık. o yüzden $9+4+1=14$ tane $10$ var. Yani bir tane $100$, ki onu $100$'ler basamağına taşıyacağız, artan $4$'ü de toplamda onlar basamağına yazacağız. Yani toplam şuna benziyor şimdilik: $$\text{$193+49=??42$ ve de elde var 1}$$. Kaç tane $100$ var $193$'te. Bir tane! $49$'da ise hiç yok. O halde yüzler basamağına bir tek $149$ bir tane yüz verecek. Ama bir tane de onlar basamağından artan vardı onu taşımışdık, o halde iki tane yüz var. Demek  ki sonuç $$193+49=242$$imiş.

---

Teşekkür etmediğimi fark ettim. Sağ olun Şafak Hocam.

---

Rica ederim de henüz sonucu bulamadık!

---

Çözüm yanlış mı?

---

Olacağını düşündüğün kısımdaki sayıları toplamayı denesene, bakalım taşıma yapmadan olacak mı?

---

Ama soruda ardışık sayı çiftleri diyor. 

---

Yani olası çiftleri topladığımda taşıma olmuyor.  Ama hepsini toplayınca $ a \leq 4 $ yalan oluyor tabii

---

Ok, benim anladığım soruyla senin anladığın soru farklı. Ben kaç tane ardışık sayıyı alıp toplama yaparsan taşıma yapmayabilirsin diye anlamıştım. Yani 5 sayı aldığında beşini de topladığında taşıma yapmayacaksın diye düşünmüştüm. İkişer ikişer toplama diye düşünmemiştim yani.

Answer 1

Merak edenler için bütün sorunun cevabını da yazıyorum:

Önce $ \left \{ 1000,1001,...,1999 \right \} $ sayılarını inceleyelim $ 2000 $ 'den sonrası belli zaten

Bu sayıları $ a $, $ b $ ve $ c $ rakamlar olmak üzere $ n= 1000+100a+10b+c $ şeklinde yazabiliriz.

$ n+(n+1) $ 'de taşıma olmaması isteniyor o zaman 

$ 1 $ ) $ n=1999 $ olabilir

$ 2 $ ) $ n=1a99 $ olabilir $ a \leq4 $ 

$ 3 $ ) $ n= 1ab9 $ olabilir $ a,b \leq 4 $ (4'ten küçükler çünkü büyük olurlarsa taşıma olur)

$ 4 $ ) $ n= 1abc $ olabilir $ a,b,c \leq 4 $ 

$ 1 $ 'de $ 1 $ sayı 

$ 2 $ 'de $ 5 $ sayı

$ 3 $ 'de $ 5^{2} $ sayı

$ 4 $ 'de $ 5^{3} $ sayı

olur.

Şimdi $ 2000 $ 'den sonraki sayılara bakalım;

$ 2000,2001,2002,2003,2004 $ istediğimiz şartları sağlar,

$ 1000 - 1999 $ arası kurduğum düzen hatrına 

$ n= 200a $ ve $ a \leq 4 $ yazayım yine. 

Yani sonuç olarak $ 1+5+5^{2}+5^{3}+5=161 $ ardışık sayı çifti seçilebilir.

Comments

Hiç sanmıyorum.

---

Soruyu senin anladığın gibi anlamayı başarınca, yanıtın doğru olduğu konusunda da inancım arttı :)

---

            :)

Answer 2

Taşıma Gerektirmemenin Tanımı: İki rakamın toplamının yine bir rakama eşit olması. 

Örneğin: $ 8+6 $ taşıma gerektirir $ 14 $ sonucu alır ve $ 1 $ taşınır.

Taşıma buymuş, yani elde. :) (Farklı bir kelime görünce insanın çok iyi bildiği bir şey hiç aklına gelmeyebiliyor:))

Comments

Boşu boşuna o kadar yorum yazdık desene!

---

Ah, bildirim gelmemiş hocam:) Çok güzel açıklamışsınız. Bence cevaba dönüştürün.