$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ fonksiyonu
-
birebir,
-
sürekli,
-
görüntü kümesi, $\mathbb{R}^2$'de kapalı
bir fonksiyon olsun. Bu fonksiyonun görüntü kümesinin tümleyeni bağıntısız (disconnected) olmak zorunda mıdır?
Örnek: $f(x) = (x,0)$ kuralıyla verilen eğri bu koşulları sağlıyor ve düzlemi iki açık parçaya ayırıyor.
Not1: Bu şartları sağlayan bir fonksiyon space filling curve olamazmış, sebebi de Baire category theorem imiş. Dolayısıyla tümleyen boş küme değil, bunu biliyoruz.
Not2: Fonksiyonu bir şekilde çemberden küreye giden bir fonksiyona çevirebilirsek Jordan eğri teoremini uygulayabiliyoruz ama bu her zaman mümkün değil. Topolojicinin sinüs eğrisiyle biraz oynayarak garip şekiller çıkarabiliyoruz mesela.