Kompakt uzaylarda sonlu olmayan her kümenin en az bir yığılma noktasının olduğunu gösteriniz.

Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere

$$((X,\tau), \text{ kompakt uzay})(|A|\geq \aleph_0)\Rightarrow D(A)\neq\emptyset$$ olduğunu gösteriniz.

Teoremi şöyle de yazabiliriz:

Kompakt uzaylarda yığılma noktası olmayan kümeler sonludur.

Comments

İpucu:

$$\underset{p}{\underbrace{((X,\tau), \text{ kompakt uzay})}}\underset{q}{\underbrace{(|A|\geq \aleph_0)}}\Rightarrow \underset{r}{\underbrace{D(A)\neq\emptyset}}$$

ve $$(p\wedge q)\Rightarrow r\equiv (p\wedge r')\Rightarrow q'$$

Answer 1

$$(p\wedge q)\Rightarrow r\equiv (p\wedge r')\Rightarrow q'$$ olduğundan

$$\underset{p}{\underbrace{((X,\tau), \text{ kompakt uzay})}}\underset{q}{\underbrace{(|A|\geq \aleph_0)}}\Rightarrow \underset{r}{\underbrace{D(A)\neq\emptyset}}$$

önermesi ile

$$\underset{p}{\underbrace {((X,\tau), \text{ kompakt uzay})}}\underset{r'}{\underbrace {(D(A)=\emptyset)}} \Rightarrow \underset{q'}{\underbrace {|A|<\aleph_0}}$$

önermesi denk önermelerdir.

$(X,\tau)$ kompakt uzay ve $D(A)=\emptyset$  olsun.

 

$D(A)=\emptyset\Rightarrow (\forall x\in X)(x\notin D(A))\Rightarrow (\forall x\in X)(\exists U_x\in\mathcal{U}(x))((U_x\setminus\{x\})\cap A=\emptyset)$

$\left.\begin{array}{r} \Rightarrow (\forall x\in X)(\exists U_x\in\mathcal{U}(x))(U_x\cap A\subseteq \{x\}) \\  \\ \mathcal{A}:=\{U_x|(\forall x\in X)(\exists U_x\in \mathcal{U}(x))(U_x\cap A\subseteq \{x\})\} \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{c} \\  \\ \left. \begin{array}{rr} \!\!\!(\mathcal{A}\subseteq \tau)(A\subseteq X=\cup\mathcal{A})  \\  \\ (X,\tau), \text{ kompakt uzay} \end{array} \right\} \Rightarrow \end{array}$

 

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (\exists \mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0)(A\subseteq X=\cup\mathcal{A}^*) \\ \\ (U\in\mathcal{U}(x))(U_x\cap A\subseteq \{x\}) \Rightarrow |U_x|=1\end{array}\right\}\Rightarrow |A|<\aleph_0.$