İzomorfizma ve Nilpotentlik

Question

1- $ \mathbb{Z_{2}} [x] \diagup (x^{2}+1) $ halkası dört elemanlıdır. Fakat $ \mathbb{Z_{4}} $ ya da $ \mathbb{Z_{2}} \times \mathbb{Z_{2}}  $ ye izomorf değildir, gösteriniz.

2- R değişmeli bir halka olsun. $ a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}  \in R[x]  $ tersinirdir ancak ve ancak $ a_{0} $ tersinirdir ve $ a_{1},a_{2},...,a_{n} \in R $ nilpotenttir, gösteriniz.

Yardımcı olursanız sevinirim, teşekkürler.

Comments

1) Sondaki iki halka da cisim değil, ama birinci halka cisim. Bunu gösterebilirsin.

2) Formal düşünecek olursan $1-aX$'in tersi $1+aX+a^2X^2+a^3X^3+\cdots$ olur. Ama bu eleman sonsuz toplam içeriyor. Polinom değil. Polinom olması için ne olması gerekir?

---

1 için verilen halka cisim olmamalı, $x^2+1$ polinomu karakteristik $2$'de indirgenir. Ayrıca $Z_2$x$Z_2$ de cisim olmalı. Bu nedenle bu seçenek elenir. Diğerinin de karakteristiği $4$ zaten.Bu da burdan elenir. 

---

sercan doğru söylüyor zira $x^2+1$'in kökleri $F_2$'de var halihazırda.

---

<p>Tesekkurleer :) :) <br>
</p>

Answer 1

2. soru $\Leftarrow:$

$f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$ , $a_0$ tersinir ve $a_1,a_2,...,a_n$ sıfır güçlü elemanlar olsun. $n=der f(x)$ ile $f(x)$ in derecesini gösterelim. $n$ üzerinden tümevarım yöntemi ile sonucu ispatlayalım.
 
Eğer $n=0$ ise $f(x)=a_0$ olup $a_0$ tersinir olduğundan $f(x)$ tersinir olur.

Derecesi $n$ den küçük olan ve yukarıdaki formatta verilen bütün polinomlar için sonuç doğru olsun.

$f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$, $a_0$ tersinir, $a_1,a_2,...,a_n$ sıfır güçlü elemanlar ve $der f(x)=n$ olsun. $g(x)=a_0+a_1x+...+a_{n-1}x^{n-1}$ olsun. $der g(x)<n$ olduğundan tümevarım gereği $g(x)$ tersinirdir. Ayrıca $a_n$ sıfır güçlü olduğundan $a_n^m=0$ olacak şekilde $m>0$ tamsayısı vardır.
$(g(x)+a_nx^n)(g(x)^{-1}-a_{n}g(x)^{-2}x^{n}+a_{n}^{2}g(x)^{-3}x^{2n}-...+(-1)^{m-1}a_{n}^{m-1}g(x)^{-(m-1)}x^{(m-1)n})=1$ elde edilir. Böylece $f(x)=g(x)+a_nx^{n}$ tersinirdir.

$\Rightarrow:$ için http://www.matkafasi.com/7072/degismeli-tersinir-tersinir-sifirli-oldugunu-gosteriniz

Comments

Tersinir bir tane elemanın varlığı halkada birimin olmasını garanti altına alır zaten, çünkü tersinir eleman tanımı birim elemanın varlığına işaret eder. O yüzden, aslında belirtilmiş.

---

Ben bunu anlamadım. Bir tuhaflık var. Yani diğer elemanlar ile çarpımın kendisine eşit olduğunu nasıl garanti ediyoruz.

---

Bir $R$ halkasında tersinir eleman tanımı şu değil mi: $$u\cdot X=1_R$$denkleminin $X$ için bir çözümü varsa $u$ elemanına tersinir denir.

---

Tamam hem fikir olduk. 

---

Teşekkür ederim Handan Hanım. :)

---

Rica ederim.

Answer 2

$2.$ Yöntem:

Uyarı:

$R$ değişmeli bir halka  $a,u\in R$ için eğer $a$ sıfır güçlü ve $u$ tersinir ise $a+u$ elemanı da tersinirdir.

$a$ sıfır güçlü olduğundan $a^m=0$ olacak şekilde $m>0$ tamsayısı vardır. $u=1$ ise
$(1+a)(1-a+a^2-a^3+...+(-1)^{m-1}a^{m-1})=1$ yani $1+a$ tersinirdir. Şimdi $u$; keyfi tersinir eleman olsun. $u+a=u(1+u^{-1}a)$ ve $a$ sıfır güçlü eleman olduğundan $u^{-1}a$ elemanıda sıfır güçlü buradan $1+u^{-1}a$ tersinir ve halkada tersinir elemanlar grup olup; yani çarpma işlemi altında kapalı olduğundan $u+a$ da tersinir elde edilir.


$f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n\in R[x]$ ve $a_0$ tersinir, $a_1,a_2,...,a_n$ sıfır güçlü ise $a_1x+...+a_nx^n\in nil(R[x])$ yani $R[x]$ in nil radikali içine düşer (Halka değişmeli olduğundan sıfır güçlü elemanlar idealdir). $f(x)=a_0+(a_1x+...+a_nx^n)$ uyarıdan dolayı tersinir bulunur.