Topolojik Uzaylarda Bazlara Dair

Question

 

Tanım: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $\mathcal{B}\subseteq \tau$ olmak üzere

$$\mathcal{B}, \tau \text{ için baz}:\Leftrightarrow (\forall A\in\tau)(\exists\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B})(A=\cup\mathcal{A})$$

Topolojik uzaylarda baz tanımını yukarıdaki gibi ele aldığımızda aşağıdaki teoremi kanıtlayınız.

Teorem: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $\mathcal{B}\subseteq \tau$ olmak üzere

$$\mathcal{B}, \tau \text{ için baz}\Leftrightarrow (\forall A\in\tau)[x\in A\Rightarrow (\exists B\in \mathcal{B})(x\in B\subseteq A)]$$

 

Answer 1

Gerek Kısmı: $\mathcal{B}, \tau$ için baz ve $x\in A\in\tau$ olsun.

$\left.\begin{array}{r}A\in\tau \\\mathcal{B}, \tau \text{ için baz} \end{array}\right\} \Rightarrow \!\! \begin{array}{c} \\ \left. \begin{array}{r} (\exists\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B})(A=\cup\mathcal{A}) \\ x\in A\end{array} \right\} \Rightarrow (\exists B\in\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B})(x\in B\subseteq A).\end{array}$

Yeter Kısmı: $A\in\tau$ olsun. $\left.\begin{array}{r} x\in A\in\tau \\ \text{Hipotez} \end{array}\right\} \Rightarrow \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!         \begin{array}{c} \\  \\ \left. \begin{array}{r} (\exists B\in \mathcal{B})(x\in B\subseteq A) \\ \\ \mathcal{A}:=\{B|x\in A\in\tau\Rightarrow (\exists B\in\mathcal{B})(x\in B\subseteq A)\} \end{array} \right\} \Rightarrow (\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B})(A=\cup\mathcal{A}).\end{array}$