Değişmeli halkada maksimal ideallerin bir özelliği

Question

$R$ değişmeli bir halka $J\subset R$ maksimal olmayan bir ideal olsun. Diyelim ki $J$'yi yalnızca bir $M$ asal ideali içeriyor olsun. Bu durumda aşağıdaki özelliğin sağlandığını gösterin. $$xy\in J\quad \&\quad  x,y\notin J \Longrightarrow x,y\in M.$$

Comments

Bu aslında gözüktüğünden daha önemli bir soru. Ben terim kullanmadan iddiayı yazdığm için rastgele işlemmiş gibi gözükse de, önemli ayrıntıya işaret ediyor bu özellik. Bu özellik sayesinde asal ideallerin semboliik güçlerinin primary ideal olduğu gösteriliyor.

Answer 1

xy M'nin elemani oldugu icin x veya y den biri M'de olmak zorunda.

Ayni zamanda J'yi iceren tek asal ideal M oldugu icin, M maximal olmak zorunda.

Diyelimki M x'i iceriyor ama y'yi icermiyor. Bu durumlarin hepsi M'ye gore lokalizasyon

aldigimizdada  dogru olur. Yani R halkasini local kabul edebiliriz ve M R'nin tek maksimal ideali

diyebiliriz. Bu durumda y M'nin elemani degilse R'de bir birim eleman olur. Bu yuzdende x J'nin

elemani olur. Buda bize bir celiski verir. Sonuc olarak y'de M'nin icinde olmak zorunda.