Nilradical'ın asal ideallerin kesişimine eşittir.

Question

 $A$ bir halka olsun. $\mathfrak{N}$, halkanın tüm nilpotent (bir elemanın bir doğal sayı kuvveti $0$ ise ona nilpotent diyoruz) elemanlarının kümesi olsun. $\mathfrak{N}$ bir ideal ve buna nilradical diyoruz.
 Teorem şunu diyor:
 $\mathfrak{N}$i deali, $A$ halkasının tüm asal ideallerinin kesişimine $\bigcap_{P \subset A, prime}P$ eşittir.

 $\mathfrak{N} \subset \bigcap_{P,prime} P$ kolay, $x \in \mathfrak{N} \implies x^n = 0$ bir $n \in \mathbb{N}$ için diyoruz, $0$ her idealde olduğundan $x^n \in \bigcap P$ diyoruz ve bitiyor. Sağdan sola kısmında sorun çekiyorum. 2 tip kanıt gördüm, ilkinde hiç bariz olmayan bir ideal kümesi tanımlanıp Zorn's lemma kullanılıyor. Diğer tipte ise localizasyon (localization) kullanılıyor. 
 
 Bu $\bigcap_P P \subset \mathfrak{N}$ içindeliğini nasıl gösterebiliriz? Localization ile göstereceksek localize işi için hangi altkümeyi seçmek lazım? 

Comments

Tersini kabul edip farktan bir eleman,$x$, alıp $S=\{1,x,x^2,...\}$ kümesine göre lokalize etmek yararlı olabilir.

---

Tamam $A_S = \{a/s | a \in  A, s \in S \}$ oluşturacağım sonra?

Answer 1

Omayana ergi ile. Diyelim ki sıfır güçlü elemanın bütün kesişimde olmasın, o halde en az bir tane asal idealde içerilmiyordur. O asal idealin dışında kalan elemanlara göre yerelleştirmeyi yapabilirsin.

Comments

Yani yerelleştirmeyi yaptım, sonra nasıl ilerlemem lazım? Yani amacım ne?

---

Aldığın elemana göre yerelleştir daha özel olarak. Aldığın eleman nilpotent olmadığı için yerelleşme sıfıra eşit olmayan bir halka olacak. Ve bu yeni halka sıfırdan farklı olduğu için halkada asal idealler olacak doğal olarak. $A$ ve $A_f$ diyelim bu halkalara. Şimdi, bu iki halkanın asal idelleri arasında nasıl bir ilişki var?

---

$A$'nın asal idealleri ile $A_f$'in asal idealleri arasında $1-1$ ilişki olması lazım sanırım. Yoksa şöyle mi dememiz lazım:

$A$'nın $f$'i içeren asal idealleri ile $A_f$'in asal idealleri arasında $1-1$ eşleme var. 

---

Bu eşleme $\mathfrak{a} \rightarrow \mathfrak{a}/f = \{a/f  | a \in \mathfrak{a} \}$ mı? 

---

Ters yön daha kolay olabilir, mesela $A$ ile kesiştirsen?

---

Diğer sorunda iki tane operasyon var, büzüşme ve genişleme. Halkadan yerelleşmeye giden morfizmaya göre büzüştürdüğün zaman bir asal ideali yine asal bir ideal elde edeceksin. $f$'yi içermeyeceği de kesin o idealin, öbür türlü yerelleşmede birim ideal olurdu. Yani, aslında olanın birebir bir eşleşme olduğunu bilmeye bile gerek yok.

---

$A$ ile kesiştirme kısmını anlamadım ne yazık ki hocam..

---

Kesişmeden kastım büzüştürme.