Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
4.4k kez görüntülendi
Ayrılabilir uzayların topolojik özellik olduğunu gösteriniz? Burda ayrılabilir uzayların homeomorfizm olduğunu yani bire bir örten F sürekli F'in tersi sürekli olduğunu göstermeliyiz galiba
Lisans Matematik kategorisinde (12 puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 4.4k kez görüntülendi

Lütfen siz neler düşündüğünüzü ekler misiniz?

Topolojik özellikler homeomorf olması gerekmiyor mu yani ayrılabilir uzayın homeomorf olduğunu göstermeli miyiz

Ayrılabilir uzay olma özelliğinin homeomofizma altında korunduğunu göstermen gerekiyor. Ayrıca sorunu iyi ifade etmemişsin. Rica etsem düzeltir misin?

Hocam lisans öğrencisiyim hoca bana bunu sordu ve böyle söyledi yarın sabah vermeliyim acaba nasıl yapılacağını gösterir misiniz

Site kuralları gereği neler düşündüğünü sorunun altına eklemelisin. Aksi takdirde sorun editörler tarafından kapatılır.

Hocam görüşlerim homeomorfizm olma şartlarını yazdım ama nasıl gösterebileceğimi bilmiyorum ayrılabilir uzayın homeomorf olduğunu nasıl sürekliliğinin tersinin sürekliliğini nasıl yapabilirim acaba
Lütfen yardımcı olabilir misiniz

Hassasiyetin için teşekkür ederim. Adım adım gidelim. Ayrılabilir uzay tanımını hatırlıyor musun?

x metrik uzayının her yerinde yogun sayılabilir bir alt kumesi varsa x ayrılabilir bir uzaydir T
Şimdi soruyu senin için biraz daha anlaşılır hale getireyim. Şöyle:
$(X,\tau),(Y,\sigma)$ topolojik uzaylar ve $f:X\to Y$ fonksiyon olmak üzere
$$((X,\tau) \text{ ayrılabilir})(f:X\to Y \text{ homeomorfizm})\Rightarrow (Y,\sigma) \text{ ayrılabilir}$$ teoremini ispatlayacağız. Ayrılabilir uzay ve homeomorfizma tanımlarını da biliyorsun. Şimdi ispatın neresinde takıldığını bize söyler misin? Ne yapman gerektiğini ve nasıl başlaman gerektiğini biliyor musun?
Hocam nasıl başlayacağımı bilmiyorum
Hocam bi gösterir misiniz çok az bi zamanım kaldı

$(X,\tau) \text{ ayrılabilir}\Rightarrow (\exists A\subseteq X)(|A|\leq\aleph_0)(\overline{A}=X)$

$f$ fonksiyonunun homeomorfizma olduğu bilgisini kullanarak buradan devam et bakalım.

F in birebir ve örten olduğunu mu göstereyim nasıl göstereceğiz

$f$ homeomorfizma ise zaten birebir ve örtendir. Elindeki bilgilerden hareketle $Y$ uzayında sayılabilir yoğun bir altkümenin var olduğu sonucuna ulaşman gerekiyor. Ben ispata bir başlangıç yaptım. İyice düşün. Hemen pes etme. Tanımları ve önceden bildiğin bilgileri kullanarak akıl yürütme yapmak suretiyle $Y$ uzayının sayılabilir yoğun bir altkümesinin var olduğu sonucuna ulaşmaya çalış.

Kabulümüzde f x den y ye homeomorfizm olduğunu söylemiştik o halde yine böyle düşünürsek Y de homeomorf olmaz mı hocam

Kavramları karıştırma. $f$ homeomorfizma ise $X$ uzayı $Y$ uzayına homeomorftur. Ne yapman gerektiğini bir önceki mesajımda yazdım. Soruya iyice konsantre ol bakalım.

$Y$ uzayının sayılabilir yoğun bir altkümesinin var olduğu sonucuna nasıl ulaşacağız hocam örnek versek olmaz yardımcı olur musunuz
Hocam bi yardımcı olur musunuz bitirsek Şu teoremi

Ben ziyadesiyle yardımcı olduğumu düşünüyorum. Sen biraz gayret etmeyi denesen.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$\left.\begin{array}{rr} (X,\tau) \text{ ayrılabilir}\Rightarrow (\exists A\subseteq X)(|A|\leq \aleph_0)\left(\overline{A}=X\right) \\ f:X\to Y \text{ homeomorfizm}\end{array}\right\}\Rightarrow $

$\Rightarrow \underset{\text{Neden?}} {(\underbrace{f[A]\subseteq f[X]=Y})}\underset{\text{Neden?}}{(\underbrace{|f[A]|\leq\aleph_0})}\underset{\text{Neden?}}{\left(\underbrace{Y=f[X]=f\left [\overline{A}\right ]\subseteq \overline{f[A]}\subseteq Y}\right)}$

$\Rightarrow (f[A]\subseteq Y)(|f[A]|\leq\aleph_0)\left(\overline{f[A]}=Y\right)$

$\Rightarrow (Y,\sigma) \text{ ayrılabilir}.$
(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

f((Y,τ)) da bu durumda ayrılabilir olur mu peki

 

$(f(X),\sigma)$ demek istediniz herhalde. Çünkü yazdığınız bu haliyle anlamsız.
Sigma ise ben meseleyi anlamamisim sanirim to yu bilerek yazmistim
20,248 soru
21,774 cevap
73,420 yorum
2,149,111 kullanıcı